图论作业详解：完美匹配与图的分解

"图论相关的课后作业，包含填空题和不定项选择题，涉及完全图、超方体、图的覆盖、1-因子、2-因子、完美匹配、荫度、平面图、极大图等相关概念。" 在这份图论作业中，涉及了多个重要的图论知识点： 1. **完美匹配**：在一个图中，如果每个顶点恰好被一条边覆盖，且没有多余的边，这样的匹配称为完美匹配。例如，完全图K2n有n个不同的完美匹配。 2. **覆盖**：图的覆盖是指选取一部分顶点，使得图中的每条边至少有一端点在选取的顶点集合中。题目中提到了超方体Q6和图Km,n的最小覆盖问题，这涉及到图的结构分析以确定最少需要选择多少个顶点才能覆盖所有边。 3. **1-因子**和**2-因子**：1-因子是图的一种分解，其中每个顶点恰好被一条边覆盖；而2-因子则是图的一种分解，每个顶点被两条边覆盖，形成闭合的路径。题目中讨论了完全图K60和K61能否分解为1-因子或2-因子的并。 4. **荫度**：在无圈图（树）中，荫度指的是树中任意一个子树的最大顶点数。给定一个有n个点、m条边、k个连通分支的无圈图，可以通过树的性质来计算荫度。 5. **平面图**：平面图是指可以在平面上画出而不引起边交叉的图。K5是平面图，但不是所有的连通平面图都是K5。删除特定数量的边可以使图变得可平面化。题目中涉及了如何使图G变为可平面图以及连通平面图的面数。 6. **极大平面图**和**极大外平面图**：极大平面图是指不能再添加边而不违反平面性的图，其面数与图的结构有关。而极大外平面图是在平面的外部能够绘制的图，其内部面的数量也是一个重要的特性。 7. **正则图**和**完美匹配**：正则图是指所有顶点度数都相同的图。偶图（所有顶点度数为偶数的图）的完美匹配、最大匹配与最小覆盖的关系，以及1-因子和2-因子的存在性，都是正则图的重要特性。 8. **哈密尔顿图**：哈密尔顿图是指包含一个通过所有顶点的简单路径（哈密尔顿圈）的图。3正则图的1-因子分解与哈密尔顿图的概念相关。 这些题目覆盖了图论的基础概念，包括图的构造、性质、分解以及平面图的相关理论，对于理解图论的基本原理和解决问题的技巧具有重要意义。解答这些问题需要对图论有深入的理解，包括图的匹配理论、平面性、分解和正则图的性质等。