大连理工矩阵上机作业：Lagrange插值与多项式拟合分析

"该文档是大连理工大学的一份矩阵上机作业，主要涉及Lagrange插值函数和多项式拟合。第一部分要求实现Lagrange插值算法，并通过实例展示了Lagrange插值的结果以及与原函数的图形比较。第二部分则探讨了不同次数多项式对数据的拟合，通过计算均方误差来评估拟合效果。" 在这份上机作业中，有两个主要的数学概念被探讨： 1. **Lagrange插值**：Lagrange插值是一种在给定离散数据点上构造连续函数的方法。在给定的n个数据点(x0, y0)上，可以构建一个n次多项式，使得这个多项式在每个数据点上都与实际值相等。在MATLAB代码中，通过循环计算每个数据点对应的插值部分，然后累加得到最终的插值结果。Lagrange插值的缺点在于，对于较大的n，可能会出现所谓的“龙格现象”（Runge's phenomenon），即在远离数据点的区域，插值曲线会出现剧烈波动。 2. **多项式拟合**：这是另一种数据拟合方法，通过最小化均方误差来找到最佳拟合多项式。在第二题中，使用了`polyfit`函数分别拟合了一次、二次和三次多项式，然后计算了这三种拟合在给定数据上的均方误差（RMSE）。通过比较这些误差，可以评估不同次数多项式的拟合质量。在这个例子中，计算了当输入值为17时，不同拟合多项式的预测值，以及它们对应的RMSE，以判断哪种拟合更优。 作业中还展示了如何在MATLAB环境中使用`plot`函数绘制原函数和拟合函数的图形，以及使用`legend`函数添加图例，这些是MATLAB基本的图形绘制技术。此外，`poly2sym`函数将多项式转换为符号表达式，以便于进一步的数学操作，而`subs`函数则用于代入数值求解。 这份上机作业旨在让学生掌握插值理论和实践，理解多项式拟合的原理，并能够运用MATLAB进行数值计算和可视化。通过这两个问题，学生可以深入理解数据插值和拟合的内在机制，以及它们在实际问题中的应用。