方括号积多尺度分析的构造与应用

"一类方括号积多尺度分析的构造 (2013年)，冯祖针，崔向照，龙瑶，云南民族大学学报：自然科学版，22(5):337-340，doi:10.3969/j.issn.1672-8513.2013.05.008" 这篇论文主要研究了在希尔伯特空间中的多尺度分析，特别是关注了一种特殊的类型——方括号积多尺度分析。多尺度分析是数学中的一个重要概念，特别是在信号处理和数值分析中有着广泛的应用。它是一种分解和重构连续或离散信号的有效工具，通过不同分辨率级别的子空间来逼近原始函数。 论文首先从Hilbert空间中多尺度逼近的定义出发，深入探讨了在该框架下多尺度逼近对（即一对用于构建分析的函数）的性质。这些性质对于理解和构建多尺度分析至关重要，因为它们确保了分析的收敛性和稳定性。 接着，作者聚焦于L2(R)空间中满足方括号积关系的一对尺度函数ψ和~ψ。方括号积关系是一种特定的线性组合关系，它在多尺度分析中起到了关键作用，因为它可以用来构建更复杂和精细的函数空间结构。基于这对尺度函数，论文提出了构造方括号积多尺度分析Vj和~Vj的方法。 进一步的研究表明，双正交多尺度分析和半正交多尺度分析都是方括号积多尺度分析的特殊情况。双正交分析是指在每个分辨率级别上，基函数之间以及基函数与原空间的投影之间都存在正交关系，而半正交分析则仅要求基函数与原空间的投影正交。这些特殊类型的多尺度分析在实际应用中具有明确的计算优势和理论特性。 最后，论文将提出的构造方法应用到了基数B-样条上，成功构造出了一对具有一般性的方括号积多尺度分析。基数B-样条是一类广泛使用的光滑插值函数，它们在曲线和曲面建模等领域有重要应用。通过这种方式，论文将抽象的理论构造与实际的函数家族相结合，增加了理论的实用价值。 这篇论文为多尺度分析提供了一个新的视角，通过引入方括号积的概念，扩展了传统的多尺度分析框架，并且给出了具体的构造实例，对于理解和应用多尺度分析有重要的理论贡献。