1 2 1
1 1 1 1
1 0 0 1
det( , , , , ) 0
0 1 0 1
0 0 1 1
n
a a a b
-
- - -
= ¹
L
L
L
L
L L L L L
L
所 以
1 2 1
, , , ,
n
a a a b
-
L
为 W
1
+W
2
的 基 ， 则 dim (W
1
+W
2
)=n ， 由 维 数 定 理 可 知
1 2
dim( ) 0W WÇ =
，故有
1 2n
V W W= Å
13.
n
R
中，
1 2
( , , , )
T
n
a a a a
= L
，
1 2
( , , , )
T
n
b b b b
= L
，判别下面定义的实数
( , )
a b
是否
为内积。
（1）
1
( , )
n
i i
i
a b a b
=
=
å
；
（2）
1
( , )
n
i i
i
i
a b a b
=
=
å
；
（3）
( , )
T
A
a b a b
=
，其中 A 为正定矩阵。
解：（1）不是
n
R
上的内积。设
( )
1 1 2
T
n
a a a= L
a
，
( )
2 1 2
T
n
a a a
¢ ¢ ¢
= L
a
( )
1 2
T
n
b b b= L
b
于是
( )
1 2 1 2
1 1 1 1
, ( ) ( , , )
n n n n
i i i i i i i i i i i
i i i i
a a b ab ab ab ab
= = = =
¢ ¢ ¢
+ = + = + £ + = )+(
å å å å
a a b a b a b
内积的线性性不满足。
（2）与（3）是
n
R
上的内积。可验证对称性、线性性及正定性都满足。
13. 设
1 2 5
{ , , , }
e e e
L
是 V
5
的 标 准 正 交 基 ， 又
1 1 5
a e e
= +
，
2 1 3 4
a e e e
= - +
，
3 1 2 3
2
a e e e
= + +
，求
1 2 3
{ , , }W L
a a a
=
的标准正交基。
解：W 的标准正交基
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 0 0 0 1 , 1 0 2 2 1 , 1 1 1 0 1
2
2 10
T T T
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