矩阵论习题解析：线性空间、维数与子空间关系

矩阵论是线性代数的重要分支，研究的对象是矩阵及其运算在向量空间中的性质。本资源包含了矩阵论第二版杨明文档中的多个习题，涉及线性空间的判断、维数计算、子空间的关系、向量线性相关性分析以及矩阵的特征如列空间和零空间的求解等内容。 1. **线性空间的判定**：习题考察了矩阵集合是否构成实数集R上的线性空间。（1）和（2）是通过矩阵的加法和数乘运算来验证，由于它们满足线性空间的封闭性和结合律、交换律、分配律，被证明为R上的线性空间。而（3）中定义的数乘运算不满足对于任意非零标量的闭合性，因此不是线性空间。在（4）中，通常的函数加法和数乘运算不符合线性空间的性质，例如负数倍的函数不保持封闭性。 2. **维度和基的求解**：对于线性空间，习题要求计算其维数并给出一组基。如三维向量空间W的基可以是给定的矩阵表示，其维数为矩阵的列数乘以行数除以2。 3. **子空间的相等性证明**：如果两个子空间的维度相同，并且它们包含相同维度的向量空间，可以通过构造基并利用过渡矩阵的逆来证明它们相等。 4. **向量在列空间中的表示**：通过增广矩阵的方法，判断向量是否能由矩阵A的列向量线性表示，从而确定向量是否在矩阵A的列空间R(A)中。 5. **线性相关性分析**：对于向量组P1, P2, P3，通过计算它们的行列式值和秩，发现秩为2，说明向量组线性相关。 6. **秩与零空间的关系**：通过矩阵的秩定理，证明矩阵A的列空间R(A)的维度加上零空间N(A)的维度等于向量空间的维度n。这反映了矩阵的列秩和零空间维度之间的基本关系。 7. **具体矩阵的特征**：对于矩阵A，通过行初等变换找到其秩为2，从而确定R(A)的基和N(A)的基，即选择非零行对应的列作为R(A)的基，然后通过解齐次线性方程组得到N(A)的基。 这些习题覆盖了矩阵论中的基础概念和运算技巧，通过解决这些问题，学生能够深入理解线性空间的性质、向量组的线性关系以及矩阵特征的计算方法。