Coq中的无极限微积分形式化验证

"这篇论文《Formal Verification of Calculus without Limits in Coq》由郭礼权和郁文生合作撰写，主要探讨了在无需使用极限的条件下，如何在Coq证明助手平台上进行微积分的形式化验证。论文指出，数学形式化作为人工智能的重要理论基础，对于科技进步具有重大意义。研究中，作者们利用Coq实现了均匀连续性、均匀可导性、强可导性和积分系统的Coq描述，并用Coq证明了均匀可导性的一些性质以及估值定理。所有形式化过程均通过Coq进行了验证。" 正文： 该论文的核心内容是关于微积分形式化验证的研究，特别强调了在不依赖极限概念的情况下进行这些验证。形式化验证是数学和计算机科学交叉领域的一个关键部分，它旨在将数学理论转化为严谨的、可验证的计算机程序。Coq是一种流行的证明助手，它支持构造形式化的数学证明，这些证明可以被计算机严格检查，从而确保逻辑无误。 在文章中，作者郭礼权和郁文生首先指出了人工智能（AI）在中国科技战略中的重要地位，而数学形式化则是AI理论基础的关键组成部分。他们利用Coq这个强大的证明工具，对微积分的一些基本概念进行了形式化表示，包括： 1. **均匀连续性**：这是比一般连续性更强的概念，意味着函数在所有点上都表现出相同的连续性程度，而不仅仅是局部的。 2. **均匀可导性**：如果一个函数在某区间上的导数是均匀的，那么函数的导数在该区间上也是连续的，这在微积分中是一个重要的性质。 3. **强可导性**：这是比可导性更严格的概念，要求在每个点的导数都存在，并且可以用左导数和右导数的公共值来表示。 4. **积分系统**：这是微积分中用于计算面积和工作等物理量的基础，作者在这里也进行了形式化描述。 接下来，他们通过Coq证明了关于均匀可导性的若干性质，并证明了估值定理。估值定理是微积分中的重要定理，通常用于确定定积分的值与原函数之间的关系。 通过这种形式化的方法，论文不仅提供了对微积分理论的深入理解，而且确保了这些理论的正确性，这对于教学、研究和工程应用都具有极大的价值。这种严谨的方法也有助于防止潜在的错误，特别是在复杂或高风险的计算应用中，例如在航空、航天或金融领域的计算。 《Formal Verification of Calculus without Limits in Coq》是一篇探索数学形式化和Coq证明助手在微积分理论中的应用的开创性论文，对于推动人工智能和数学理论的结合具有积极的贡献。其结果可以被进一步扩展到其他数学分支，甚至可能启发新的验证方法和技术。