图数据结构详解：C++实现与应用

"数据结构-图(C++)详细讲解" 在数据结构中，图（Graph）是一种重要的非线性数据结构，用于表示对象之间的复杂关系。它由两个主要组成部分组成：顶点（Vertex）集合V和边（Edge）集合E，通常表示为G=(V,E)。顶点用于表示数据元素，而边则描述了这些元素之间的关联。 9.1.1 图的定义 在图中，顶点代表数据元素，可以是任何类型的信息，如人、地点、事件等。边则表示顶点之间的关系，可以是无向的（Undirected Edge）或有向的（Directed Arc）。无向边没有特定的方向，可以用两个顶点的无序对表示，如(v1, v2)。有向边具有方向性，用有序对表示，如<v1, v2>，意味着从顶点v1指向顶点v2。 9.1 图的基本概念和术语 - 邻接：在图中，如果两个顶点之间存在边，那么它们就是邻接的。 - 度（Degree）：对于无向图，一个顶点的度是与其相邻接的边的数量；对于有向图，出度（Out-degree）是指有向边离开顶点的数量，入度（In-degree）则是指向顶点的有向边的数量。 - 自环（Loop）：一个顶点到自身的边，如(v, v)。 - 连通图：图中任意两个顶点都通过一系列边相连的图称为连通图。 - 环（Cycle）：在有向图中，若一条路径的起始顶点和结束顶点相同，并且路径上的边按顺序形成一个闭合的序列，那么这个路径就是一个环。 9.2 图的存储结构 常见的图存储结构有邻接矩阵（Adjacency Matrix）和邻接表（Adjacency List）： - 邻接矩阵：使用二维数组表示图，其中数组的每个元素对应一对顶点，值为1表示两者之间有边，0表示无边。对于有向图，矩阵是对称的，无向图则为对称矩阵。 - 邻接表：每个顶点维护一个链表，链表中的元素表示与该顶点邻接的所有其他顶点。这种方法节省空间，尤其在稀疏图（边的数量远小于顶点数量的平方）中。 9.3 图的遍历算法及其应用 图遍历包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。DFS从一个起点开始，尽可能深地探索图的分支，直到达到叶子节点后再回溯；BFS则从起点开始，逐层探索所有相邻的顶点。这些算法在解决诸如寻找最短路径、判断连通性和查找强/弱连通分量等问题时非常有用。 9.4 最小生成树 最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是连接所有顶点的边的子集，且这些边的总权重最小。常见的求解最小生成树的算法有Prim算法和Kruskal算法，它们分别基于贪心策略构建最小生成树。 9.5 最短路径 最短路径问题寻找的是在图中从一个源顶点到其他所有顶点的最短路径。Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法是解决这类问题的常用方法。Dijkstra适用于有权图，而Floyd-Warshall处理所有顶点间的最短路径。 9.6 有向无环图（DAG） 有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）是一类特殊的有向图，不含环。它们在任务调度、拓扑排序、依赖关系分析等领域有广泛应用。拓扑排序是DAG的一种重要操作，它给出图中所有顶点的一个线性顺序，满足对于每条有向边<u, v>，顶点u在线性顺序中出现在顶点v之前。 图结构在实际应用中广泛，如计算机网络、社交网络、物流网络、生物信息学、推荐系统等。理解并掌握图的相关概念和算法对于解决复杂问题至关重要。