矩阵论习题详解：特征值、相似矩阵与Jordan标准形

矩阵论简明教程(第二版)是一本深入浅出的教材，专注于矩阵理论的基础概念和应用。该教程的习题部分涵盖了矩阵运算、特征值与特征向量、相似矩阵以及Jordan标准形等核心知识点。 1. 特征值与特征向量关系：习题强调了矩阵的特征值与特征向量之间的关系，指出若矩阵A有一个特征值λ，那么它也是矩阵A^n的特征值。特征向量的性质表明，如果v是对应特征值λ的特征向量，则A·v = λv，这用于表示特征向量在矩阵作用下的缩放行为。 2. 对称矩阵与相似变换：当矩阵A和B、C和D相似时，存在可逆矩阵P和Q，使得通过相似变换将A转化为B，C转化为D。通过定义矩阵T，可以展示这种相似性的具体形式，即[T]^-1AT=[B]或[T]^-1CT=[D]，展示了矩阵变换的线性组合特性。 3. 特征向量的性质及构造：习题中的例子说明如何通过已知特征值和特征向量来构造新的特征向量，并指出每个特征值都有相应的特征向量。 4. 矩阵的对角化问题：部分习题探讨了矩阵对角化的可能性，例如判断一个矩阵是否可以通过正交变换化为对角矩阵。其中，一个矩阵可以对角化的条件是它的特征值都是实数且互不相同。 5. 特征值的计算与应用：习题中通过计算特征值来解决实际问题，例如，根据特征值确定矩阵的零点情况，如本例中通过特征值为0，1，2推导出矩阵A的特殊形式。 6. 方程组与特征值的联系：习题通过求解特定特征值对应的线性方程组，找到了特征向量，并利用这些向量构造了矩阵的特殊分解形式A=PP^T，展示了特征值与矩阵运算的实际应用。 7. Jordan标准形和相似矩阵：对于不可对角化的矩阵，习题给出了Jordan标准形的分析，展示了如何找到矩阵的Jordan块，以及如何通过相似变换将其转换到标准形式。此外，还涉及到了矩阵的不变因子和特征向量的寻找。 矩阵论简明教程(第二版)的习题部分涵盖了矩阵基本理论的多个方面，旨在帮助读者深入理解矩阵运算、特征值、相似性等概念，并通过实际问题的解决提升理论知识的应用能力。