最小二乘法：参数辨识与应用示例

最小二乘法是一种在统计学和数学优化中广泛应用的方法，主要用于通过最小化误差平方和来估计线性关系中的未知参数。在IT领域，特别是在信号处理、数据分析和机器学习中，最小二乘法是求解线性模型的关键工具。以下是对两个程序示例的详细解释： 1. 3.2.2 节利用最小二乘法求取模型参数的程序 - 热敏电阻例子 在这个程序中，目标是根据一组观测数据（温度T和对应的电阻值R）拟合一条直线模型 y = a + bt。首先，定义了时间序列 t 和随机噪声 v，然后生成了实际的电阻测量值 z（含噪声）。接下来，程序计算了各个累计和，如总时间（sum_t1）、时间的平方（sum_t2）、噪声与时间的乘积（sum_tz），以及总电阻值（sum_N）。利用这些计算结果，程序计算了模型参数 a 和 b 的最小二乘估计，即通过公式 ap_num/ap_den 和 bp_num(bp_den) 来求解斜率 b 和截距 a。 算法步骤总结： - 清理工作空间 - 生成随机数据 - 计算累积和 - 使用公式计算 a 和 b 的值 - 拟合并绘制原始数据与拟合直线 2. 3.3 加权最小二乘算法程序 - 最小二乘参数辨识程序 这个程序则引入了加权最小二乘法，它考虑了数据点的重要性不同，通过赋予每个数据点一个权重来改进估计。例如，在本程序中，通过 `A` 变量表示数据点的权重，`x0` 和 `M` 定义了信号的初始状态和范围。此程序的核心是 `polyfit` 函数，它使用加权平均来找到最能描述数据趋势的一次多项式（在本例中是一条直线）。 加权最小二乘法的特点： - 能处理非均匀或有偏误的数据分布 - 对于异常值或噪声较大的数据点赋予较小的权重 - 提高了模型对数据质量差异的适应性 算法步骤总结： - 初始化工作环境 - 生成模拟数据（可能包含加权） - 使用 `polyfit` 函数基于加权数据计算模型参数 - 绘制原始数据和加权拟合曲线 这两个程序展示了最小二乘法在实际问题中的应用，不仅用于线性模型，也适用于处理有噪声或权重信息的数据集。通过最小二乘法，可以有效地从观测数据中提取出关键参数，对于预测、控制系统设计和数据分析等领域都至关重要。