优化圆周多边形选点，动态规划求最大面积

本课程资料是关于动态规划在求解圆和多边形问题中的应用，题目源于《算法艺术与信息学竞赛》中的第ZJUxxx题，名为"圆和多边形"。该问题背景是：给定一个圆和圆周上的N个点，目标是选择M个点连成一个M边形，并按圆周顺序排列，使得形成的多边形面积最大。通过动态规划方法来解决这个问题，关键在于设计合适的状态和状态转移方程。 动态规划是一种递归求解最优化问题的方法，它通过将原问题分解为更小的子问题，然后存储子问题的解，避免重复计算，从而提高效率。在这个特定的问题中，可以定义以下状态： 1. **状态变量**： - `d[i,j]` 表示从第i个到第j个点之间的子串，构造一个满足规则的括号序列（如'('和')'、'['和']'对齐）所需的最少添加括号数量。 2. **状态转移方程**： - 当子串`S`的形式为`(S')`或`[S']`时，意味着子串已经满足括号规则，因此`d[i+1,j-1]`即为其所需添加的括号数。 - 如果`S`的形式为`(S' or [S'])`，则可能需要额外添加一个括号来确保闭合，所以`d[i+1,j] + 1`。 - 如果`S`仅由两个独立的部分组成，如`(S') or S'`，那么两个部分分别需要添加的括号数之和加上一个额外的闭合括号，即`d[i,j-1] + 1`。 - 对于长度大于1的子串，可能需要分别计算两个子串的添加括号数，然后相加，即`d[i,k] + d[k]`。 3. **策略**： - 从子串的起点开始，逐步向终点推进，根据当前子串的结构更新`d`数组，直到覆盖所有可能的子串组合。 - 在过程中，要不断优化选择，每一步都考虑如何添加括号以最小化总的添加数量，从而最大化最终多边形的面积。 通过这种方法，可以构建出一个高效的动态规划解决方案，解决给定圆上点的选择问题，找到最优的M边形组合。这不仅锻炼了对动态规划的理解，也展示了算法在实际问题中的应用，如图形学、几何优化等领域。