MATLAB 实践：不动点迭代与雅可比迭代法

"MATLAB选题涉及的是MATLAB在解决数学问题中的应用，特别是不动点迭代法和雅可比(Jacobi)迭代法的实践。文件包含MATLAB的实例、实验题目以及配套代码，旨在帮助学习者掌握这两种迭代方法的原理、计算流程、编程实现和收敛性分析。" 在MATLAB选题中，主要关注了两个核心概念： 1. 不动点迭代法：不动点迭代法是一种求解非线性方程的方法。它基于将非线性方程\( f(x) = 0 \)转化为等价的迭代形式\( g(x) = x \)，通过选择一个初始近似值\( x_0 \)生成迭代序列\( x_{k+1} = g(x_k) \)。这种方法也称为Picard迭代。训练目的是让学习者理解不动点迭代的基本原理，了解其计算过程，并能用MATLAB编程实现。具体训练内容包括计算4阶勒让得多项式在\( x = 0.3 \)附近的根。4阶勒让得多项式为\( P_4(x) = x^4 - 8x^3 + 15x^2 - 6x + 3 \)。要求包括构建至少两种迭代方法，计算迭代结果，分析收敛性，并撰写实训报告。 2. 雅可比(Jacobi)迭代法：适用于求解线性方程组\( Ax = b \)，要求系数矩阵非奇异且主对角元素不为零。通过迭代公式\( x^{(k+1)} = D^{-1}(b - Gx^{(k)}) \)进行计算，其中\( D \)是对角元素矩阵，\( G = A - D \)。训练目标是使学习者熟悉Jacobi迭代法的原理，能根据给定方程判断迭代法的收敛性，构建迭代公式，并使用MATLAB实现。具体的训练内容为解决以下线性方程组： \[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 - 4x_3 = 5 \\ 2x_1 + 5x_2 - 7x_3 = 8 \\ 4x_1 - 7x_2 + 4x_3 = 3 \end{cases} \] 通过这些实验和练习，学习者将深入理解MATLAB在数值计算中的应用，增强其编程和分析能力，同时也能够实际操作并直观地观察迭代过程的收敛性。在MATLAB环境中，不仅能够实现算法，还能通过绘图功能直观展示结果，从而更好地理解和验证迭代方法的效果。