利用异或操作解决网易笔试题：最少购买颜料数量

"网易2017内推笔试题.pdf，主要涉及编程问题，需要通过编程解决颜料混合的最优化问题。" 这个问题的核心是利用异或(XOR)运算来找到最少需要购买的颜色种类，以便能够混合出所有需要的颜色。题目中提到的颜料颜色可以用正整数表示，而异或操作在二进制级别上进行，即将每个数字转换为二进制形式后进行操作。当两个数进行异或操作时，相同位置的1和1会得到0，而1和0或0和1则会得到1。 首先，我们需要理解如何将多个数通过异或操作来简化它们的二进制表示。假设我们有n种颜色，每种颜色对应的整数分别为xi。我们可以将这些数字转换为二进制，形成一个n行的矩阵，每行对应一个二进制串。由于题目限制1 ≤ xi ≤ 1,000,000,000，这意味着最坏情况下二进制串的长度可能达到30位（2^30接近于10亿）。 接下来，我们可以通过对这个二进制矩阵进行行异或操作来寻找“公共”位。行异或意味着将每一行的二进制串与其它所有行进行异或操作。这个过程实际上是在尝试找到一种方式，使得所有颜色都可以通过最少的原始颜色组合得到，因为异或操作具有交换律和结合律，且0异或任何数等于任何数本身。 在这个过程中，我们期望找到一个公共的二进制串，它表示可以由最少的原始颜色混合得到的所有颜色。如果所有的颜色都能通过异或操作得到这个公共串，那么这个公共串对应的原始颜色数量就是最少需要购买的颜色数。 为了实现这个算法，我们可以编写一个程序，首先读取n个颜色的整数，然后对它们进行异或操作。这个过程可以使用C++中的^运算符完成。同时，我们需要一个辅助函数来确定一个数的二进制表示的最高位，这可以通过不断地右移并计数来实现。 ```cpp // 求一个数的二进制的最高位是哪位 int getHighBit(int num) { int highBit = 0; while (num) { num >>= 1; highBit++; } return highBit; } int main() { vector<int> colors; int n; // 读取颜色数量和颜色值 while (cin >> n) { for (int i = 0; i < n; i++) { int color; cin >> color; colors.push_back(color); } // 对所有颜色进行异或操作 int result = 0; for (int color : colors) { result ^= color; } // 输出最少需要购买的颜色数量 cout << "最少需要购买的颜色数：" << getHighBit(result) << endl; } return 0; } ``` 这个程序会读取颜色数量n和n个颜色值，然后对它们进行异或操作，最后输出最少需要购买的颜色数量，即结果的最高位的二进制位数。 这个问题转化为一个利用异或操作求矩阵秩的问题，通过异或操作找到一个公共串，这个公共串对应的原始颜色就是最少需要购买的颜色。通过编程实现，可以有效地解决这个问题。