LeetCode P494：优化解题策略：从回溯到动态规划

在LeetCode的第494题中，目标是计算给定非负整数数组`a1, a2, ..., an`和目标和`S`，使得经过符号`+`或`-`的操作后，数组的和能够达到目标值。该问题具有以下特性： 1. **数组限制**：数组长度不超过20，确保问题规模适中。 2. **初始和限制**：数组的初始和不超过1000，防止出现过大或过小的数值组合。 3. **结果存储**：要求结果能被32位整数表示，意味着答案范围不会超出这个范围。 **解法一：回溯法** 回溯法是一种暴力搜索策略，通过递归地尝试所有可能的符号选择来解决问题。在每个位置，都有两个选择（+或-），因此形成一棵深度为n的二叉树，n为数组长度减一。每个节点代表当前元素的符号加和，左子树代表正号，右子树代表负号。当遍历到叶子节点（所有元素已处理）且和等于目标值时，计数器加一。这种方法虽然可行，但由于搜索空间巨大（最多2^n个节点），时间复杂度为O(2^n)，在数组长度较大时效率低下。 **解法二：动态规划** 为了优化效率，我们可以采用动态规划（DP）的方法。这个问题与背包问题有相似之处，每个元素可以视为一个物品，符号选择相当于决定是否放入背包。我们可以定义一个二维数组dp[i][j]，表示在处理前i个元素时，能否通过选择符号使总和等于j。状态转移方程可以这样定义： - dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i]]，如果当前元素不选，保持和不变。 - dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j+nums[i]]，如果当前元素选，根据符号加或减nums[i]。 状态转移的过程就是枚举所有可能的选择，从头开始填充dp数组，最后dp[n][S]就是所求的解决方案数。动态规划的时间复杂度为O(n*S)，比回溯法大大降低，尤其是在数组长度较大时。 总结来说，LeetCode P494问题主要考察了数组操作与优化搜索策略，通过回溯法展示了所有可能的解决方案，而动态规划则提供了更高效的方法，利用状态转移的思想减少了计算量。理解这两种方法并结合实际问题的特点，可以帮助我们更好地解决此类求解符号组合问题。