树状数组解题讲解：从POJ3321到二维、三维扩展

"这篇资料是关于高级数据结构的习题讲解，主要涉及树状数组的应用和解题策略，包括一维、二维甚至三维树状数组的使用，以及在实际问题中的应用实例。" 在这次的高级数据结构习题讲解中，主要探讨了如何利用树状数组解决ACM/ICPC竞赛中的问题。首先，讲解了针对POJ3321AppleTree问题的解题思路。树状数组是一种高效的数据结构，用于快速求解数组的前缀和。在这个问题中，由于需要计算以特定节点为根的子树内苹果的总数，我们需要将树结构转化为连续序列。通过深度优先搜索（DFS）得到每个节点的首次到达（Reach）和最后离开（Out）的编号，这样可以确定每个节点子树的范围。 树状数组的索引通常从1开始，因此有1<=Reach[x], Out[x]<=2*n-1，其中n是树中的节点数。在更新和查询时，我们只需要关注Reach[x]这一位置，因为所有属于节点x子树的节点都会在Reach[x]到Out[x]之间。查询以x为根的子树苹果总数时，可以使用公式Query(Out[x]) - Query(Reach[x] - 1)。 树状数组的概念不仅可以应用于一维情况，还可以扩展到二维和三维。例如，二维树状数组用于动态求解子矩阵的和，查询复杂度为logm*logn。POJ2155Matrix是一个经典例子，通常树状数组查询区域和更新单点，但这个题目反之，需要巧妙转换处理。而三维树状数组则可以用来动态求解三维长方体的体积，查询复杂度为logm*logn*logL，如URAL1470UFOs问题所示。 此外，资料还提及了一个与星空有关的问题——POJ2482StarsinYourWindow，该问题涉及到在一个大矩形范围内统计星的数量，其中星的位置可以达到2^31的范围，而矩形的维度不超过1000000。这可能需要结合其他数据结构或算法来解决，如前缀和、哈希映射等。 这份习题讲解深入浅出地介绍了树状数组及其在ACM/ICPC竞赛中的应用，不仅提供了理论知识，还有具体实例分析，有助于深化对高级数据结构的理解和应用。