模p阶乘序列解的界限：lk(p)的上界估计

本文主要探讨了关于阶乘模p的特定序列问题，该工作发表在2008年的《南京师大学报(自然科学版)》第31卷第4期。作者戴丽霞针对奇素数p以及正整数k（满足1≤k≤p(l-l/ log log p）的情况，研究了序列(nl!)k + ... + (n{!)k ≡ λ (mod p)。这里的lk(p)是一个关键概念，它定义为使得对于任意整数λ，该序列总能找到正整数解n1, n2, ..., n{所需的最小正整数l。 研究的主要目标是确定lk(p)的上限估计。论文证明了lk(p)的大小为O((log p)3 log log p * k(l + l/ log log p))，这意味着随着p的增长，找到正整数解n的最小长度是随着p的对数、对数对数以及k和l的函数关系而增长的。这个结果对于理解阶乘模p序列的分布特性具有重要意义，特别是当p是奇素数时。 在研究背景中，论文提到了一个未解决的猜想，即如果阶乘模p的某个固定余类α被序列n!遗漏的数量约为p/ log p，那么这个序列在模p下的表现会有所不同。然而，本研究并未解决这个猜想，而是专注于给出lk(p)的界限，这为我们提供了对阶乘序列行为的一个定量理解。 论文的关键概念包括阶乘（factorials），指数和（exponential sums），以及模p的同余关系(congruences)。这些数学工具在数论中有着广泛的应用，尤其是在分析离散结构和随机现象中的模式。通过对这些概念的深入分析，作者揭示了阶乘模p序列的性质，并对lk(p)的界限进行了严谨的证明。 这篇论文不仅提供了一个关于阶乘模p序列的重要结果，而且还展示了如何利用数论方法来处理这类复杂的数学问题，这对于进一步探索此类序列的规律性和潜在应用具有重要的学术价值。