有限元法分析温度场：从基础到应用

"第三讲_温度场的有限元分析" 在有限元分析中，温度场的模拟是一项重要的任务，它涉及到热能传递的建模和求解。本讲主要探讨了如何使用有限元方法对温度场进行分析。有限元方法是一种数值计算技术，广泛应用于工程和科学问题中，尤其是解决偏微分方程的问题，如热传导方程。 首先，我们要理解插值函数和形函数的概念。插值函数，或称位移函数，是用来近似表示单元内部物理量变化，如位移或位移场的函数。选择合适的插值函数至关重要，其基本原则是确保函数在节点处的值等于节点位移，以保证连续性，并确保有限元解能收敛于实际解。通常，插值函数采用多项式形式，通过调整多项式的阶次来逼近真实的解。 位移函数的构造方法有两种常见方式。一是广义坐标法，例如在一维单元中，位移函数可以表示为广义坐标α的多项式函数。二是插值函数法，将位移函数表示为各节点位移与已知插值基函数的乘积之和。在一维和二维单元中，这些基函数可以是Lagrange多项式或形函数。 接着，我们关注传热的基本原理。温度场分为不稳定温度场和稳定温度场。不稳定温度场随时间和空间变化，而稳定温度场仅随空间变化，不随时间改变。等温面是所有点具有相同温度的表面，等温线是特定平面上与等温面相交的线，而温度梯度则表示在等温线或等温面上某方向上的温度变化率。 在平面稳态温度场的有限元分析中，我们需要利用变分原理。首先定义一个泛函，然后找到使泛函达到极小值的解，这对应于原偏微分方程的解。这个过程包括四个关键步骤：（1）建立泛函；（2）推导平面稳态温度场的泛函；（3）进行单元温度场分析，构建单元刚度矩阵；（4）最后，通过组装单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵，结合边界条件求解整体温度场方程。 单元刚度矩阵是有限元方法中的核心概念，它描述了单元内部各节点位移之间的关系，反映了物理问题的局部特性。整体刚度矩阵则是由所有单元刚度矩阵组合而成，包含了整个计算域的信息，用于求解全局问题。 总结来说，第三讲的内容涵盖了温度场有限元分析的基础理论，包括插值函数的选择与构造，传热的基本概念，以及平面稳态温度场的有限元分析步骤。这些知识为理解和应用有限元方法解决实际热传导问题奠定了基础。