根轨迹法解析：从开环传递函数到闭环极点影响

"根轨迹是经典控制理论中的一个重要概念，由W.R.Evans在1948年提出，主要用于分析系统参数变化对闭环极点的影响。它是一种图解方法，通过绘制开环传递函数在参数变化时闭环极点在s平面上的轨迹，来研究系统动态性能。根轨迹分为常义根轨迹和广义根轨迹，前者以根轨迹放大系数k为参变量，后者则涉及其他系统参数。主要根轨迹对应参数在[0，∞)的变化，辅助根轨迹对应参数在(-∞，0]的变化，两者合并成为全根轨迹。 根轨迹的定义基于闭环特征方程，当开环传递函数的某一参数变化时，闭环特征方程的根在s平面上的运动轨迹即为根轨迹。例如，对于一个给定的系统，其开环传递函数可以表示为G(s)H(s)，闭环特征方程为1 + G(s)H(s)K = 0，其中K是根轨迹放大系数。随着K值从0增加到无穷大，闭环特征方程的根S1和S2在s平面上的轨迹就是根轨迹。 绘制根轨迹有特定的法则，包括根轨迹的起始点和终点、实轴上的根轨迹段、幅值条件和相角条件等。这些法则帮助确定根轨迹在s平面上的具体形状和分布。例如，根轨迹通常始于开环极点，止于开环零点，且必须满足180度相位条件和幅值条件，即相角在某点的变化量必须为整数倍的180度，幅值比必须等于1。 在实际应用中，根轨迹分析对于理解系统稳定性、响应速度和稳态误差等关键性能指标具有重要意义。例如，通过观察根轨迹如何接近虚轴，可以判断系统的稳定性；根轨迹与虚轴的交点决定了系统的穿越频率，影响着系统的响应速度。此外，通过对根轨迹的分析，可以预估系统在不同参数下的行为，从而优化系统设计。 在示例1中，给定的开环传递函数是G(s)H(s)，随着参数K的变化，根轨迹描绘了闭环极点S1和S2在s平面上的运动路径。当K从0增大，闭环极点S1和S2会沿着根轨迹移动，这种移动反映了系统动态特性的变化。通过绘制不同K值下的根轨迹图形，可以直观地了解系统性能随参数调整的规律。" 以上内容详细解释了根轨迹法的基本概念、应用及其在控制系统分析中的重要性，同时也给出了一个具体的例子来展示如何根据开环传递函数绘制根轨迹。