均匀网格下上风有限差分法分析异质singularly perturbed问题的误差估计

本文主要探讨了在非均匀网格上，对一个模型的不均匀二阶奇异摄动边值问题进行首阶迎风有限差分法的统一收敛分析。作者是孙力楠和王安涛，他们来自兰州大学数学与统计学院。问题的核心是研究小参数ε（乘以最高阶导数项）下的误差估计，该问题具有奇异性，即解在其边界附近可能有剧烈的变化。 奇异摄动问题通常涉及到边界层效应，即随着ε趋近于0，问题的局部行为会发生显著变化。在这个模型中，目标是找到一种方法来设计和分析网格策略，使得当ε减小时，数值解能够保持稳定的误差控制。文章提出的策略是基于网格的等分布，即通过线性组合一个常数底和解的二次导数的幂来构建正监测函数。这种方法旨在确保ε-均匀收敛，即无论ε如何微小，误差都将以预定的速率保持在可接受的范围内。 作者首先回顾了奇异摄动问题的背景和已有的有限差分方法，然后重点介绍了所采用的两种首阶迎风差分格式。迎风方法在处理偏微分方程中的特征流时，能有效地捕捉到特征方向上的物理流动，对于这类问题具有良好的稳定性。然而，对于奇异摄动问题，需要特别关注如何选择合适的底值（即常数部分）以确保网格的均匀性。 接下来，文章进行了详尽的理论分析，包括误差估计的建立和证明过程。这涉及到了诸如网格大小的选择、网格与解的局部性质、以及如何通过调整底值来优化误差控制等多个方面。作者展示了如何通过这些分析来确定网格的适应性，以最小化因ε的减小而导致的误差放大。 关键词包括奇异摄动、自适应网格、收敛率和误差估计，这些都是论文核心内容的关键组成部分。这项工作不仅提供了一种新的方法来处理奇异摄动问题的数值解，而且还为设计高效且稳定数值算法，特别是在处理小参数影响下的复杂边界层问题提供了理论依据。