理解SVM：从硬间隔到非线性支持向量机

支持向量机（SVM）是一种强大的机器学习算法，主要用于解决二分类问题。它通过在特征空间中寻找一个最优的超平面，使得两类样本在这个超平面两侧被最大程度地分开。这个超平面是使得两类样本距离最远的决策边界，从而提高了分类的泛化能力。 在SVM中，有两种主要类型的模型： 1. 硬间隔支持向量机：这种模型假设数据集是线性可分的，即存在一个超平面能将两类样本完全分开，而且没有样本位于超平面附近。其目标是找到一个最大化几何间隔的超平面。几何间隔是指样本点到超平面的最短距离，它等于样本点到超平面的点积除以法向量的模。硬间隔SVM的优化目标是最大化这个间隔，同时确保所有样本都在正确的一侧。如果存在样本点离超平面太近，即违反了间隔最大化，那么这些点被称为支持向量。 2. 软间隔支持向量机：在实际问题中，数据往往不是线性可分的，因此引入了软间隔的概念。软间隔允许一部分样本可以违反间隔条件，即允许一定的误分类。通过引入惩罚项C，SVM可以容忍一定数量的错误分类，从而处理非线性可分的情况。软间隔的优化目标是在保持间隔最大化的同时，控制误分类的代价。 3. 非线性支持向量机：当数据集无法通过线性超平面有效划分时，SVM引入核函数的概念，将数据从原始特征空间映射到高维特征空间，在新的空间中找到一个线性超平面进行分类。常见的核函数包括线性核、多项式核、RBF（高斯核）和Sigmoid核等，这些核函数能够实现非线性分类，使得原本在低维空间难以区分的数据在高维空间变得容易分开。 在求解SVM问题时，通常会采用拉格朗日乘子法，通过构造拉格朗日函数，引入KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件，转化为求解对偶问题。对偶问题的解可以通过SMO（Sequential Minimal Optimization）算法高效求得，SMO算法是一种迭代算法，用于逐步优化拉格朗日乘子α，从而求得最优的w和b。 总结来说，SVM通过寻找最优超平面，最大化样本的间隔，以及灵活应对线性和非线性问题，成为了一种广泛应用的分类算法。它的核心思想在于最小化误分类并最大化分类间隔，通过核函数技术处理非线性数据，使得SVM在各种复杂的分类任务中展现出强大的性能。