计算机图形学第七章：图形变换详解

"计算机图形学课件第七章主要讲解了二维和三维几何变换，包括变换的数学基础，如矢量和矩阵的概念，以及二维基本变换，如平移、旋转、缩放等。" 在计算机图形学中，几何变换是至关重要的概念，用于描述和操作图形对象的位置、方向和大小。第七章主要分为两个部分：变换的数学基础和二维基本变换。 首先，介绍的是变换的数学基础，这部分以矢量和矩阵为核心。矢量是具有方向和大小的量，常用来表示位置、速度或力。矢量可以进行数乘、点积和叉积等运算。数乘一个矢量，意味着改变其大小而不改变方向；点积可以计算两个矢量的内积，同时得到它们之间的夹角；叉积则产生一个新的矢量，其方向垂直于原两矢量，并且大小等于它们在垂直方向上的投影乘积。此外，矢量的长度、单位矢量以及它们之间的夹角也是关键概念。 矩阵是二维数组，常用来表示一组线性关系。对于n阶矩阵，它可以是方阵（行数等于列数），零矩阵（所有元素都是零），或者是行向量或列向量。矩阵可以进行加法、数乘、乘法和转置等运算。特别地，方阵可以有逆矩阵，这在解决线性方程组或进行几何变换时非常有用。 接着，课程进入二维基本变换的讨论。在二维空间中，最基本的几何变换包括平移、旋转和缩放。平移是将对象沿直线移动到新的位置，可以通过加上一个平移向量来实现。例如，一个点(x, y)平移到(x', y')，可以通过矩阵乘法表示为 T * P = [x' y']^T，其中T是平移矩阵，P是原始点的列向量，T * P给出新位置的列向量。 旋转是围绕固定点（通常为原点）改变对象的方向，而缩放则是改变对象的大小。旋转涉及到角度和极坐标，而缩放通常需要一个或两个尺度因子来确定沿x轴和y轴的缩放比例。 除了这些基本变换，还有反射（镜像翻转）和错切（扭曲）变换，它们可以丰富图形的表达和视觉效果。反射是关于某条直线的对称变换，而错切则是改变图形的局部比例，使得平行线不再保持平行。 这一章深入探讨了计算机图形学中的几何变换，从基本的数学工具如矢量和矩阵出发，到实际的二维变换操作，为理解和实现复杂的图形处理奠定了坚实的基础。这些知识广泛应用于游戏开发、可视化技术、图像处理等领域。