L({uk},{ωk},λ)=α∑k(∂t{[δ(t)+j/πt]uk(t)}exp(−jωkt))22+(f(t)−∑kuk(t))22+<λ(t),f(
t)−∑kuk(t)>,(3)L({uk},{ωk},λ)=α∑k∂t{[δ(t)+j/πt]uk(t)}exp(-jωkt)22+f(t)-
∑kuk(t)22+<λ(t),f(t)-∑kuk(t)>,(3)
式中:<λ(t),f(t)- ∑k∑ku
k
(t)>表示 λ(t)与 f(t)- ∑k∑ku
k
(t)相内积。这样,通过线性组合目标函数
和约束条件,可以将(2)式转化为求解无约束极小化问题,并进一步求解出非线性规划过程的
最优解,这个最优解是全局极小极值,使(3)式的导数等于零的点可以作为(2)式的最优解,即
{u
k
}、{ω
k
}和 λ。通过交替方向乘子运算对{u
k
}、{ω
k
}和 λ 进行一系列优化迭代,即在频率域连
续更新 u
k
(t)、ω
k
和 λ(t),表达式为
u^(n+1)k(ω)=f^(ω)−∑≠iu^i(ω)+λ^(ω)/21+2α(ω−ωk)2,(4)ω(n+1)k=∫∞0ω∣∣u^k(ω)∣∣2dω∫∞0∣∣u^k(ω)
∣∣2dω,(5)λ^(n+1)(ω)=λ^(n)(ω)+τ[f^(ω)−∑ku^(n+1)k(ω)],(6)u^k(n+1)(ω)=f^(ω)-
∑i≠ku^i(ω)+λ^(ω)/21+2α(ω-
ωk)2,(4)ωk(n+1)=∫0∞ωu^k(ω)2dω∫0∞u^k(ω)2dω,(5)λ^(n+1)(ω)=λ^(n)(ω)+τf^(ω)-
∑ku^k(n+1)(ω),(6)
式中: f^f^(ω)、 u^iu^i(ω)和 λ^λ^(ω)分别为 f(t)、u
k
(t)和 λ(t)的傅里叶变换,ω 为频率;n 为迭
代次数;τ 为保真参数。迭代更新的终止条件为
∑k∥∥u^(n+1)k−u^(n)k∥∥22∥∥u^(n)k∥∥22<ε,(7)∑k‖u^k(n+1)-u^k(n)‖22‖u^k(n)‖22<ε,(7)
式中:ε 为收敛精度。
满足终止条件后,输入信号 f 被分解为 K 个模态向量 u
k
(t),每个模态向量具有固定的中心频率
值 ω
k
。
2.2 排列熵原理及其参数设置
Bandt 等
[17]
在 2002 年提出了排列熵算法,主要用于检测时间序列的随机性,适合非平稳信号
的分析,具有很好的鲁棒性。信号的熵值决定了其随机程度:熵越大,信号的随机程度越强;熵
越小,信号越规则有序。因此可以采用排列熵算法对异常信号进行检测。排列熵算法的检测
步骤如下
[18]
。
一个时间序列 S 含有 N 个信号{x(1),x(2),…,x(N)},S 的规则程度可由多维空间中近似熵测
量,将时间序列 S 分为若干个小段,即
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪X(1)={x(1),x(1+τ'),…,x[1+(m−1)τ'
]}X(2)={x(2),x(2+τ'),…,x[2+(m−1)τ']}
︙
X(k)={x(k),x(k+τ'),…,x[k+(m−1)τ']}
︙
X[N−(m−1)τ']={x[N−(m−1)τ'],
x[N−(m−2)τ'],…,x(N)},(8)X(1)={x(1),x(1+τ'),…,x[1+(m-