MATLAB实例：优化机床生产计划以最大化利润

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"《MATLAB实例与程序》是一本详尽的教材，共799页，专注于介绍线性规划在实际问题中的应用与编程技巧。本书以G.B. Dantzig的单纯形法为核心，讲解了线性规划的基本概念，如其在生产和管理决策中的重要性，如何通过数学模型解决实际问题，如机床厂的生产优化案例。 1.1节深入探讨了线性规划的实例，如如何通过建立目标函数（如最大化利润，用z=4x1+3x2表示）和约束条件（如每天可用机器工时限制）来确定最优生产方案。决策变量x1和x2在这里起到了关键作用，目标函数和约束条件必须都是线性的，以定义为线性规划问题。 1.2部分介绍了MATLAB中处理线性规划的标准形式，它以最小化为目标（min），将线性目标函数（cTx）与线性不等式约束（Ax≤b）结合，同时考虑变量的下界（lb）和上界（ub）。这些矩阵和向量的使用在MATLAB中非常直观，有助于简化问题的表达和求解过程。《MATLAB实例与程序》不仅提供了理论背景，还提供了丰富的实例和代码，帮助读者掌握如何在MATLAB环境中实际操作线性规划算法，解决复杂的优化问题。书中强调模型建立的精确性和选择合适决策变量的重要性，这对于理解和应用线性规划技术来说至关重要。通过阅读这本书，读者能够提升对线性规划的理解，并熟练运用MATLAB工具进行高效计算和决策分析。"

假设：

（1）每种货物可以无限细分；

（2）每种货物可以分布在一个或者多个货舱内；

（3）不同的货物可以放在同一个货舱内，并且可以保证不留空隙。

问应如何装运，使货机飞行利润最大？

-15-

第二章整数规划

§1 概论

1.1 定义

规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，

变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适

用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。

1.2 整数规划的分类

如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类：

变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。

变量部分限制为整数的，称混合整数规划。

1.2 整数规划特点

（i）原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：

①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。

②整数规划无可行解。

例 1 原线性规划为

min







5, x

≥

0, x

≥

其最优实数解为：



, min z 

。

③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。

例 2 原线性规划为

min







6, x

≥

0, x

≥

其最优实数解为：



, min z 

。

若限制整数得：



min



。

（ii）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。

1.3 求解方法分类：

（i）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。

（ii）割平面法— 可求纯或混合整数线性规划。

（iii）隐枚举法— 求解“0-1”整数规划：

①过滤隐枚举法；

②分枝隐枚举法。

（iv）匈牙利法— 解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。

（v）蒙特卡洛法— 求解各种类型规划。

下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。

§2 分枝定界法

对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行系

统搜索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子

集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称

为定界。在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝，

-16-

若其最优解不符合 A 的整数条件，那么 B 的最优目标函数必是 A 的最优目标函数 z 的

上界，记作 z ；而 A 的任意可行解的目标函数值将是 z 的一个下界 z 。分枝定界法就

是将 B 的可行域分成子区域的方法。逐步减小 z 和增大 z ，最终求到 z 。现用下例来

⎨7x1  20x2 ≤ 70

可见它不符合整数条件。这时 z 是问题 A 的最优目标函数值 z 的上界，记作 z 。而

即 0 ≤ z ≤ 356 。

⎩

⎨7x1  20x2 ≤ 70

⎩

⎨7x1  20x2 ≤ 70

再定界： 0 ≤ z ≤ 349 。

⎩

这样，许多子集可不予考虑，这称剪枝。这就是分枝定界法的主要思路。

分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。在本世纪六十年代初由 Land

Doig 和 Dakin 等人提出的。由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解

整数规划的重要方法。目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂

选址问题、背包问题及分配问题等。

设有最大化的整数规划问题

，与它相应的线性规划为问题

，从解问题

开始，

说明：

例 3 求解下述整数规划

Max



40x



90x

⎧



≤

⎪

≥

且为整数

解

（

）先不考虑整数限制，即解相应的线性规划

，得最优解为：



4.8092,



1.8168,



355.8779



显然是问题

的一个整数可行解，这时



，是

的一个下界，记作

，

（

）因为

当前均为非整数，故不满足整数要求，任选一个进行分枝。设选

进行分枝，把可行集分成 2 个子集：

≤

[4.8092]



，

≥

[4.8092]





因为 4 与 5 之间无整数，故这两个子集的整数解必与原可行集合整数解一致。这

一步称为分枝。这两个子集的规划及求解如下：

问题

：

Max



40x



90x

⎧



≤

⎪

≤

≥

最优解为：



4.0,



2.1,



349

。

问题

：

Max



40x



90x

⎧



≤

⎪

≥

最优解为：



5.0,



1.57,



341.4

。

（

iii

）对问题

再进行分枝得问题

和

，它们的最优解为

-17-

再定界： 341340 ≤≤ z ，并

将 12B 剪枝。

求得其目标函数值，并记作 z 。以 z 表示问题 A 的最优目标函数值；这时有



340



1.43,



3.00,



327.14

（

）对问题

再进行分枝得问题

和

，它们的最优解为



5.44,



1.00,



308

无可行解。

将

剪枝。

于是可以断定原问题的最优解为：



340

从以上解题过程可得用分枝定界法求解整数规划（最大化）问题的步骤为：

开始，将要求解的整数规划问题称为问题

，将与它相应的线性规划问题称为问

题

。

（

）解问题

可能得到以下情况之一：

（

）

没有可行解，这时

也没有可行解，则停止．

（

）

有最优解，并符合问题

的整数条件，

的最优解即为

的最优解，则

停止。

（

）

有最优解，但不符合问题

的整数条件，记它的目标函数值为

。

（

）用观察法找问题

的一个整数可行解，一般可取





，试探，

z ≤ z

≤ z

进行迭代。

第一步：分枝，在

的最优解中任选一个不符合整数条件的变量

，其值为

，

以

]

表示小于

的最大整数。构造两个约束条件

≤

]

和

≥

]



将这两个约束条件，分别加入问题

，求两个后继规划问题

和

。不考虑整数条件

求解这两个后继问题。

定界，以每个后继问题为一分枝标明求解的结果，与其它问题的解的结果中，找出

最优目标函数值最大者作为新的上界

。从已符合整数条件的各分支中，找出目标函数

值为最大者作为新的下界

，若无作用

不变。

第二步：比较与剪枝，各分枝的最优目标函数中若有小于

者，则剪掉这枝，即

以后不再考虑了。若大于

，且不符合整数条件，则重复第一步骤。一直到最后得到



为止。得最优整数解





。

3 0 − 1

型整数规划

−

型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量

仅取值

或

。这时

称

为

−

变量，或称二进制变量。

仅取值

或

这个条件可由下述约束条件：

≤

，整数

-18-

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