原点对称凸体的体积决定了其在球附近极体的唯一性

本文探讨的是"极体的体积确定凸体"这一主题，发表于2013年的《华东师范大学学报（自然科学版）》第1期。作者吴力荣主要研究了在多维空间Rn中的一个特定情况：当一个凸体K包含一个半径为δ的球，并且具有原点对称性时，该凸体的性质可以通过其在该球附近所有点的极体体积来唯一确定。极体在凸体理论中是一个重要的概念，它与给定点的补集相关联，定义为K*Z，即所有与点z的距离乘以其到凸体K的距离倒数1的距离集合。 文章的核心贡献是利用球面调和函数和Hamburger矩方法，这是一种数学工具，用于处理和分析凸体的几何特性。通过这些工具，作者证明了一个关键的定理，即对于Rn中的这种特定凸体，其体积和极体体积之间的关系具有唯一性，也就是说，任何其他与之体积和极体体积相同的凸体，必然与其在给定球附近的行为完全一致。 进一步的研究表明，体积积P(K)，即凸体K与其极体K*的体积乘积，是一个重要的不变量，受到GL(n)变换的影响。这个体积积有其上限，即著名的Blaschke-Santaló不等式，这是凸体几何中的一个基本结果。尽管上界已知，但论文可能还探讨了P(K)的下界，这可能是通过对凸体结构和极体体积的深入分析来实现的。 这篇论文不仅扩展了我们对凸体几何的理解，还提供了计算和理解凸体性质的新方法，尤其是在具有特定对称性的凸体情况下。这对于数学、计算机科学以及物理学等领域有着潜在的实际应用，例如在图像处理、计算机图形学或者优化问题中，对凸体的体积和极体的控制可能是一个关键的考量因素。