板壳有限元中的协调与非协调薄板理论

在《数据之美-一本书学会可视化设计》一书中，章节5.5探讨了板弯曲协调元在Kichhoff薄板理论中的应用。在传统的薄板理论中，为了保证板单元的协调性，通常会采取两种策略：一是增加节点自由度，包括考虑节点的二次导数；二是保持每个节点仅需三个参数，但这种方法可能导致计算结果不完全理想。在这个框架下，作者引入了一个基于三个广义位移（包括中面法线转角xϕ和yϕ，不再是传统意义上的w的导数）的平板弯曲理论。 该理论考虑了横向剪切变形的影响，这使得单元间斜率的连续性问题得以缓解。广义内力不仅包括传统的弯矩(xM、yM和xyM)和剪力(QxE和QyF)，这两个独立变量在有限元分析中起着关键作用。广义势能在有限元法中表示为一个包含8个变量的表达式，即3个广义位移、3个内力矩和2个剪力。 在有限元法实施时，公式(5-84)给出了弹性板区域的总势能，涉及到广义曲率、广义内力、位移和广义力。通过数学表示，如广义曲率κ与广义位移w的关系，以及与节点力的关联，这些概念紧密地结合在一起。书中还提到了弯曲刚度D的计算，以及板的剪切模量c和泊松比μ的定义。 这部分内容深入到高等工程力学的线性与非线性有限元应用，涵盖了从单元和形函数的基本概念，到单元性质、刚度矩阵的构建，以及整体结构的分析。特别是针对杆系与板壳有限元部分，如等截面梁单元、杆件系统和板的非协调与协调元的讨论，都显示了理论与实际问题的结合。板弯曲协调元是解决板壳结构复杂变形的关键，它要求在保持节点参数不变的情况下，通过精确的数学模型来处理剪切效应，从而提高计算的准确性和可靠性。 书中还涉及了结构振动与动力响应、非线性有限元分类、材料非线性和几何非线性的理论，以及接触与摩擦非线性的处理。这些内容不仅展示了理论深度，也突出了实际工程问题的多样性与挑战。通过学习这些内容，读者能够掌握如何在实际工程设计中有效地运用有限元方法，进行板壳结构的精确分析和优化。