高等代数(下)C卷期末试题与解析

"高等代数(下)期终考试题及答案(C卷).doc" 这篇文档是关于高等代数（下）课程的期末考试试题及答案，涵盖了选择题、填空题和判断题，主要测试学生对线性代数概念、矩阵理论、线性变换、特征值和特征向量、子空间以及欧几里得空间的理解。 1. **选择题解析** - 第1题考察子空间的定义，选项D表示的是R^n的子空间。 - 第2题涉及线性变换，选项B表示的是R^3中的线性变换。 - 第3题讨论了子空间的维数，根据题意，选项C正确，因为两个子空间的交集的维数不超过两个子空间的维数之和减去它们的维数差。 - 第4题涉及不变因子和初等因子，选项C正确，不变因子是由初等因子按照指数降序排列得到的。 - 第5题讨论矩阵可对角化的条件，选项B表明所有特征值的重数等于它们的几何重数，这是可对角化的必要条件。 - 第6题考察反对称矩阵的性质，4阶反对称矩阵的维数是6，因此选项D正确。 2. **填空题解析** - 第1题需要填写子空间的基和维数，通常涉及线性独立的向量组。 - 第2题涉及到线性变换的组合，可能需要计算复合变换的表达式。 - 第3题特征多项式和最小多项式是矩阵的特性，特征多项式由特征值求得，最小多项式包含所有特征值的因子。 - 第4题要求找到特征值对应的特征向量，这需要解线性方程组。 - 第5题考察矩阵相似性，如果两个矩阵相似，它们的特征值相同，所以需要填充相应的特征值。 - 第6题与实对称矩阵有关，其特征值都是实数，由此可以确定迹的值。 3. **判断题解析** - 第1题正确，矩阵的加法和数乘确实构成子空间。 - 第2题正确，实对称矩阵可以通过正交相似变换对角化，且对角元素为特征值。 - 第3题正确，一维子空间中的非零向量是对应特征值的特征向量。 - 第4题正确，保持非零向量夹角不变的线性变换是正交变换。 这些题目综合测试了学生对线性代数基本概念的掌握，包括但不限于线性空间的性质、线性变换的定义、矩阵的特征值和特征向量、矩阵的相似与对角化、子空间的维数计算以及欧几里得空间中的正交变换。解答这些问题需要对线性代数理论有深入的理解，并能够灵活应用。