幂函数概念与性质探究

"学案8幂函数 (2).ppt" 本文将详细探讨幂函数的相关知识，包括其概念、图象绘制方法、性质以及在高考中的考察方式。幂函数是一类重要的基本函数，对于理解和应用函数有着至关重要的作用。 首先，幂函数的定义是这样的：一般地，形如y=x^α的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数，且α属于实数集R。这个定义涵盖了各种形式的幂函数，包括整数指数、分数指数以及负数指数。 在画幂函数图象时，通常采用列表、描点、连线的方法。此外，由于幂函数在不同象限的行为可能不同，因此我们通常先画出第一象限的图象，然后根据幂函数的性质（如奇偶性、单调性）来延伸至其他象限。对于常见的幂函数y=x、y=x^2、y=x^3等，它们的图象和性质如下： 1. y=x：这是一个定义域和值域都为全体实数R的奇函数，它在整个实数轴上单调递增，并且通过原点(0,0)。 2. y=x^2：这是一个定义域为全体实数R，但值域为[0,+∞)的偶函数。图象是对称于y轴的抛物线，且在y轴右侧（x>0）单调递增，在左侧（x<0）单调递减，顶点为(0,0)。 3. y=x^3：这是一个定义域和值域均为全体实数R的奇函数，它在整个实数轴上单调递增。 这些幂函数的单调性和奇偶性是判断其他幂函数性质的基础。在高考中，幂函数的考察通常以基础题型为主，如选择题和填空题，但也可能出现与函数性质、二次函数、方程、不等式等综合问题相结合的解答题。 比较大小是幂函数的一个重要考点。例如，给定a=log32, b=ln2, c=5，可以先将对数转换为相同底数，然后进行比较。在这个例子中，a=log32=1/log23，b=ln2=1/log2e，而c=5显然大于这两个数，因此选择C，即c<a<b。 此外，比较大小时，可以通过构造函数或者利用函数性质来简化比较。例如，当比较(-1.9)^3与3.8，(-4)^4与4.1^4，以及(-3)^2与3^(-5)，我们可以直接计算或者利用指数函数的性质（如正指数大于负指数，大基数的幂大于小基数的幂等）来进行比较。 总结来说，幂函数是高中数学中的核心概念之一，掌握其基本性质和图象特征对于解决相关问题至关重要。在高考复习中，应重点理解并熟练运用幂函数的定义、性质以及比较大小的方法，以便应对各种类型的题目。