"该资源是关于大学复变函数的学习资料,由袁长迎教授主讲,涵盖复变函数的基本概念,如复数、导数、解析函数等,并给出了相关的作业习题。"
在复变函数这个领域,我们首先要理解复数的概念。复数是由实部和虚部构成的数,通常表示为 \( z = x + iy \),其中 \( x \) 是实部,\( y \) 是虚部,\( i \) 是虚数单位,满足 \( i^2 = -1 \)。复数的图形可以在复平面上表示,其中实轴对应于实数部分,虚轴对应于虚数部分。
复数有几种不同的表示方式,包括代数形式、极坐标形式和指数形式。在极坐标表示中,复数可以写成 \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \),其中 \( r \) 是模(复数的大小),\( \theta \) 是辐角,表示从实轴正方向到复数在复平面上的向量的旋转角度。指数形式为 \( z = re^{i\theta} \),其中 \( e \) 是自然对数的底数。
复变函数是将一个复数映射到另一个复数的函数,表示为 \( w = f(z) \)。在学习复变函数时,我们需要关注函数的定义域,它是指函数中输入值(复数 \( z \))所在的集合。定义域可以是复平面上的点集,包括区域、邻域、边界点和边界线。函数的值域则是所有可能输出值的集合。
初等复变函数包括指数函数 \( w = e^z \),它可以进一步分解为 \( w = \cos z + i\sin z \)。指数函数在复变函数理论中扮演着重要角色,因为它们是解析函数的例子,即在全复平面内可微的函数。这些函数的性质,如可积性、解析延拓以及洛朗级数展开,都是复分析中的核心内容。
作业习题涉及到复数的运算,例如加减乘除,以及复数的幂和开方。解这些问题时,需要熟悉复数的运算法则,比如 \( (a+bi)(c+di) = ac - bd + (ad + bc)i \),以及 \( (a+bi)^n \) 的计算通常涉及欧拉公式 \( e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \)。
通过深入理解和熟练应用这些基础知识,学生能够解决复变函数中的问题,并逐步掌握这个领域的高级概念,如柯西-黎曼条件、解析函数的性质以及留数定理等。