线段树：动态范围求和与构建详解

线段树是一种高效的数据结构，用于解决动态范围求和问题，它在处理数组操作时具有卓越的性能。在给定的题目中，我们首先了解如何构建线段树来支持两个主要操作：Update(x, v)，即更新数组中的元素值，和Query(L, R)，即查询区间内元素之和。线段树的核心是通过分治的思想将原始数组划分成一系列递归定义的区间，每个结点代表一个区间内的信息。 线段树的结构如下： 1. 区间：由两个整数a和b表示，表示区间[a, b)，其中a是起始位置，b是非包含结束位置。 2. 结点：结点T(a, b)代表区间[a, b)的总和，内部结点的左孩子是T(a, (a+b)/2)，右孩子是T((a+b)/2, b)。叶结点是区间长度为1的结点。 3. 结点数与深度：对于长度为n的数组，线段树最多有2n个结点，其深度不超过log(2n)，这是因为线段树可以看作是满二叉树的近似。 4. 线段分解数量级：每个区间被分解为不超过2logL个子区间，这样大部分查询可以在O(logn)的时间复杂度内完成。 线段树的存储方式有多种： - 链表存储：每个结点包含左右子树指针和区间范围，但可能会占用较多的空间。 - 数组模拟链表：通过数组间接表示链表，节省空间，但操作可能涉及数组下标计算。 - 堆结构存储：使用堆数据结构实现，虽然查询效率高，但插入和删除操作可能较复杂。 结点定义如下： ```cpp type point = ^node; node = record left, right: integer; // 结点区间范围 lp, rp: point; // 左右子树指针 sum: longint; // 存储区间和 end; ``` 创建线段树的函数`creat`接收起点l和终点r作为参数，根据递归策略构建树结构： ```pascal procedure creat(p: point; l, r: integer); begin p^.left := l; p^.right := r; p^.sum := 0; if l + 1 = r then // 如果是叶结点 begin p^.lp := nil; p^.rp := nil; } else // 如果是内部结点 begin new(p^.lp); creat(p^.lp, l, (l + r) div 2); new(p^.rp); creat(p^.rp, (l + r) div 2, r); end; end; ``` 查询函数`query`接受起始位置l和结束位置r，计算并返回对应区间的和： ```pascal function query(p: point; l, r: integer): longint; var ans: longint; begin // 查询过程，递归计算区间和 // 在这里添加具体递归查询代码 end; ``` 线段树是解决动态范围求和问题的强大工具，通过其高效的分解和合并策略，使得许多在线性对数时间内完成复杂的区间查询成为可能。理解线段树的结构、性质和操作方法对于编写高效的算法至关重要。