基于Hermite插值的高精度无导数值积分公式构建

该篇文章《基于Hermite插值的高精度数值积分公式》发表于2013年的华侨大学学报（自然科学版），作者是龙爱芳和胡军浩，来自中南民族大学数学与统计学学院。论文的核心内容围绕Hermite插值展开，这是一种在数值分析中常用的插值方法，用于构造高精度的数值求积公式。 文章首先介绍了Hermite插值多项式的构建过程，目标是创建一个满足特定插值条件的多项式p(x)，即在节点xk和xk+1处，不仅要求函数值相等(f(xk) = p(xk), f(xk+1) = p(xk+1))，还需满足一阶导数也相等(f'(xk) = p'(xk), f'(xk+1) = p'(xk+1))。通过这种方法，构建出次数不超过三次的多项式，其形式为p(x) = αk(x)f(xk) + αk+1(x)f(xk+1) + βk(x)f'(xk) + βk+1(x)f'(xk+1)。 接着，文章重点探讨了积分中值定理的中间点渐近性，通过对插值性质的深入分析，作者得以改进数值求积公式的精度。传统的数值积分公式，如梯形公式和Simpson公式，虽然无需计算导数值，但它们的代数精度有限。梯形公式具有一次代数精度，而Simpson公式提升到了三次。然而，这些公式仍然存在局限，如文献[7-8]提到的高精度求积公式需要提供一阶导数值。 针对这一问题，作者提出了一种新的求积公式，其误差量级达到O(h^5)，这意味着它能够提供更高的精度，而且关键在于，这个公式只需要函数在节点处的值，而无需计算导数值。这在实际应用中具有显著优势，尤其是在那些难以或不便于求导的函数计算中。 这篇文章的主要贡献是利用Hermite插值理论，开发出一种计算效率高、精度更高的数值积分公式，这对于科学研究和工程计算中大量出现的积分问题具有实际价值。文章的研究成果对于数值分析领域的理论发展和实际应用都有积极意义。