积分一环散射方程的微分算子：计算与Cachazo-He-Yuan形式相关残余
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更新于2024-07-16
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本文探讨了积分一环散射方程的微分算子在量子场论中的应用，特别是在计算亚纯n型相关的散射幅度时的计算效率提升。作者提出了一种新的微分算子，这种算子专为处理Cachazo-He-Yuan (CHY) 形式的散射振幅设计，这种形式在Yang-Mills理论的n点一环散射过程中尤为常见。CHY公式是一种创新的表示方式，它将传统的多体散射问题转化为黎曼曲面上的积分，极大地简化了高阶辐射过程的计算。
微分算子的设计基于两个关键概念：局部对偶定理和n形式的除数的相交数。局部对偶性是弦理论和量子引力中的一个重要概念，它揭示了物理量在不同图象下的等价性。而在数学上，除数的相交数则是研究代数曲线的关键概念，它反映了曲线上的特定几何特性。作者推测，这个微分算子正是这两种理念的结合，它能够利用这些内在结构来解析地求解积分问题。
通过这个微分算子，研究人员能够有效地评估一环Yang-Mills理论的积分被积函数，显著降低了计算复杂度。这不仅有助于理论物理学家更高效地处理复杂的量子场论问题，而且可能为更高维度的理论研究提供新的计算工具。文章中特别提到了1-环四点Yang-Mills被积的结果，它与Q-cut方法（一种基于复分析的散射积分计算技术）之间存在明显的对应关系，这进一步证实了新算子的有效性和适用性。
值得注意的是，这篇工作发表在《Journal of High Energy Physics》(JHEP) 的2017年第1期，是开放获取的，这意味着学术界可以无障碍地访问和利用这些研究成果。作者来自南京大学、浙江师范大学、瑞典乌普萨拉大学以及南京的Weavi Corporation Limited，他们的电子邮件地址可供读者联系。
总结来说，这篇论文的重要性在于它提供了一种新颖且高效的微分算子，用于处理一环散射方程，并展示了它在实际物理问题中的应用潜力，特别是在计算Yang-Mills理论的积分时。这项工作的成果不仅提升了理论计算的精度，也推动了积分方程在高能物理领域的进一步发展。
JHEP01(2017)028
often appear in CHY-form by the proposed operator D. We denote this amplitude as A
φ
3
and its explicit expression is given in [16, 26, 27],
A
φ
3
=
I
h
1
=h
2
=0
dσ
1
∧ dσ
2
h
1
h
2
(σ
1
− σ
2
)
+
dσ
1
∧ dσ
2
h
1
h
2
(1 − σ
1
)σ
2
, (3.1)
where h
1
, h
2
being polynomials in σ
1
and σ
2
, are roots of the tree-level scattering equations.
Their solutions take the following forms,
h
1
= k
13
σ
1
+ k
14
σ
2
+ k
12
, (3.2)
h
2
= k
45
σ
1
+ k
25
σ
1
σ
2
+ k
35
σ
2
, (3.3)
where k
ij
=
1
2
(k
i
+ k
j
)
2
.
The two terms in (3.1) can be integrated separately. In the first term we denote the
remaining factor in the denominator as h
0
= (σ
1
− σ
2
). These three polynomials h
1
, h
2
, h
0
can be made homogeneous:
˜
h
0
= (σ
1
− σ
2
) ,
˜
h
1
= k
13
σ
1
+ k
14
σ
2
+ k
12
σ
0
,
˜
h
2
= k
45
σ
0
σ
1
+ k
25
σ
1
σ
2
+ k
35
σ
0
σ
2
,
by introducing an extra variable σ
0
which will be later integrated out. Hence the first
contour integral becomes,
I
h
1
=h
2
=0
dσ
1
∧ dσ
2
h
1
h
2
(σ
1
− σ
2
)
=
I
˜
h
1
=
˜
h
2
=σ
0
−1=0
dσ
1
∧ dσ
2
∧ dσ
0
˜
h
1
˜
h
2
(σ
0
− 1)
1
˜
h
0
= −
I
˜
h
1
=
˜
h
2
=
˜
h
0
=0
dσ
1
∧ dσ
2
∧ dσ
0
˜
h
1
˜
h
2
˜
h
0
1
(σ
0
− 1)
, (3.4)
where in the second equality sign we have used the global residue theorem and the inter-
secting divisors are all generated by homogeneous polynomials. This contour integral is
immediately computed by our conjecture. The corresponding differential operator takes
the form,
D = a
100
∂
∂σ
1
+ a
010
∂
∂σ
2
+ a
001
∂
∂σ
0
. (3.5)
The computation of the integral is now translated to finding the values of the coefficients
a
100
, a
010
and a
001
. The local duality theorem requires,
I
˜
h
1
=
˜
h
2
=
˜
h
0
=0
˜
h
1
dσ
1
∧ dσ
2
∧ dσ
0
˜
h
1
˜
h
2
˜
h
0
= 0 ,
I
˜
h
1
=
˜
h
2
=
˜
h
0
=0
˜
h
0
dσ
1
∧ dσ
2
∧ dσ
0
˜
h
1
˜
h
2
˜
h
0
= 0 . (3.6)
The intersection number of the divisors here is 2 and this yields,
I
˜
h
1
=
˜
h
2
=
˜
h
0
=0
d
˜
h
1
∧ d
˜
h
2
∧ d
˜
h
0
˜
h
1
˜
h
2
˜
h
0
=
I
˜
h
1
=
˜
h
2
=
˜
h
0
=0
J dσ
1
∧ dσ
2
∧ dσ
0
˜
h
1
˜
h
2
˜
h
0
= 2 , (3.7)
– 5 –
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