图结构期末复习：邻接矩阵与链表表示法详解及Prim与Kruskal算法应用

在数据结构的学习中，图是一种重要的抽象数据类型，用于表示元素之间的连接关系。图结构期末总结主要涵盖了以下几个关键知识点： 1. **图的基本概念**： 图是由两个非空集合组成：顶点集V（代表图中的各个元素或对象）和边集E（代表顶点之间的连接关系）。一个图通常表示为G=(V, E)，其中每个边(vi, vj)表示顶点vi和vj之间存在联系。 2. **图的储存结构**： - **邻接矩阵**：这是最常见的图储存方式之一，对于一个有n个顶点的图，邻接矩阵是一个n×n的矩阵。矩阵的(i, j)位置的值为1表示顶点vi和vj之间有边，为0则表示没有。这种方法直观且空间复杂度为O(n^2)，但查询效率较高。 - **邻接表**：邻接表是另一种常用的图结构，它将每个顶点与其相邻的顶点列表关联起来，类似于树的子链表示法。对于无向图，邻接表中每条边可能在两个顶点的邻接列表中都出现一次。这种方法节省空间，适合频繁插入和删除边，但查询相邻顶点的时间复杂度为O(deg(v))，其中deg(v)是顶点v的度。 3. **Prim算法与Kruskal算法**： - **Prim算法**：这是一种用于寻找无向图中最小生成树的贪心算法。它从一个起始顶点开始，逐步添加与已选择顶点相连的最短边，直到所有顶点都被包含在生成树中。Prim算法通常采用优先队列来实现高效查找。 - **Kruskal算法**：另一种寻找最小生成树的算法，它按照边的权重从小到大排序，然后依次加入边，只要新加入的边不会形成环，就继续添加。Kruskal算法适用于有向或无向图，但需要对边进行排序，所以时间复杂度为O(ElogE)。 这两个算法都是图论中经典的求解问题，它们不仅在理论上有重要意义，还在实际应用中如网络设计、路由算法等场景中发挥重要作用。理解并掌握这些概念和算法，能够加深对图结构的理解，并在解决实际问题时更加游刃有余。