ACM竞赛模板：线段树与树状数组详解

"这篇资源是关于ACM竞赛的个人总结模板，主要涵盖了图论和数据结构中的树状数组，包括其基本应用和扩展模型。" 在ACM编程竞赛中，树状数组是一种非常重要的数据结构，它能高效地处理单点更新和区间求和的问题。在【描述】中提到的"线段树与树状数组"，这两者都是用来解决动态维护区间和的问题，但树状数组在空间效率和操作速度上有优势，尤其适合内存有限的情况。 树状数组的基础模型，也称为"线性数组"或"Cow Pointer"，可以用于处理PUIQ（Point Update Interval Query，点更新，区间查询）问题。例如，当需要在一个序列中频繁地增加或减少特定位置的值，以及查询一段区间的总和时，树状数组就能发挥效用。【部分内容】中提到的"例题1"就是这种模型的典型应用场景，通过add(x, v)和add(x, -v)操作可以实现单点的增减，而sum(y) - sum(x-1)则能快速计算[x, y]区间的和。 接下来，IUPQ（Interval Update Point Query，区间更新，点查询）模型将区间更新转化为单点更新，点求值转化为区间求和。在"例题2"中，通过add(x, v)和add(y+1, -v)的操作可以实现[x, y]区间的增加v，而sum(x)则可以获取第x个元素的当前值。这种方法巧妙地利用了树状数组的性质，将区间问题化简为单点问题，提高了算法的效率。 第三个模型，逆序对问题，是图论中的经典问题。逆序对是对数值大小关系的统计，朴素算法的复杂度是O(n^2)，不适合大数据量。通过树状数组，我们可以对排列进行反向扫描，每次遇到一个元素Xi，查询大于Xi的元素个数，这实际上就是求以Xi为界的小于Xi的元素个数，从而有效地计算逆序对数量。这种方法将问题转换为一系列的区间查询，利用树状数组快速得到结果。 这个ACM模板提供的内容涉及到了树状数组的多种应用模型，包括基本的PUIQ模型，扩展的IUPQ模型，以及在逆序对问题中的应用，这些都是ACM竞赛中常见的数据结构和算法题目类型。学习并掌握这些模型有助于在实际比赛中高效地解决问题。