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第29卷第2期
2012 年 4 月
计 算 力 学 学 报
Chinese Journal of Computational Mechanics
Vol .29 ,No .2
April 2012
文章编号 :1007‐4708(2012)02‐0236‐06
基 于 聚 类 算 法 和 自 由 度 集 结 的
柔 性 结 构 模 型 降 阶 研 究
李成涛
1
, 肖仪清
倡 1
, 欧进萍
2 ,3
(1 .哈尔滨工业大学 深圳研究生院 ,深圳 518055 ;2 .大连理工大学 建设工程学部 ,大连 116024 ;
3 .哈尔滨工业大学 土木工程学院 ,哈尔滨 150001)
摘 要 :提出了采用 k‐means 聚类算法对动力相似自由度进行自动集结的模型降阶方法 。 考虑动力荷载空间分
布 ,给出了根据模态参与系数选取原模型重要模态的方法 ,并讨论了次要方向自由度舍弃的方法 。 根据重要模态
中各自由度振型值的相似性 ,应用聚类算法对自由度进行自动分类 ,从柔度矩阵元素的定义入手推导了结构矩阵
显式条件下柔度法降阶的统一表达式 ,并证明了降阶模型的正定性 、对称性及正交关系 。 最后通过一榀 40 层混
凝土框架结构模型由 240 自由度降阶为 8 自由度的算例 ,说明了柔度法降阶的有效性及降阶模型评判指标的合
理性 。
关键词 :结构动力学 ;模型降阶 ;模态分析 ;聚类算法
中图分类号 :O342 ;TB123 文献标志码 :A
收稿日期 :2010‐09‐20 ;修改稿收到日期 :2011‐08‐04畅
基金项目 :国家自然科学基金(90815030)资助项目 .
作者简介 :李成涛(1982‐) ,男 ,博士生 ;
肖仪清
倡
(1973‐) ,男 ,博士 ,教授
(E‐mail :xiaoyq@ hit .edu .cn) ;
欧进萍 (1959‐) ,男 ,教授 ,博士生导师 ,
中国工程院院士 .
1 引 言
大型结构的健康监测和振动控制以及实验模
型研究中 ,都涉及将无限自由度体系或复杂有限元
模型简化为低阶结构模型进行快速计算的问题 。
传统的 Guyan 静力缩 聚方 法
[1]
、改进 的 IRS 方
法
[2]
、双向递推方法
[3]
和逆迭代法
[4]
等都涉及主自
由度的选取 ,而这种选取需凭借主观经验 。 对于柔
性结构 ,也可以采用自由度集结方法
[5 ,6]
进行降
阶 ,从而避免主自由度的主观选择 。 但是自由度的
集结(即哪些自由度集结为一个缩聚自由度)一般
都采用手工选择的方法 ,仍存在主观判断的问题且
效率较低 。 本文提出采用 k‐means 聚类算法对动
力相似自由度进行自动集结的方法 ,推导结构矩阵
已知条件下刚度 、质量及阻尼矩阵降阶的柔度法统
一表达式 ,并从理论上证明该方法的降阶结构模型
具有正定性 、对称性和正交性 。 最后通过一榀高层
框架的降阶算例 ,说明了缩聚过程并验证了方法的
有效性 。
2 模型降阶的基本思路
假设待降阶的原模型有 N 个自由度 ,其集合
记为 U ,元素记为 u{i}(i
≤
N) ,u{i} 的位移响应为
x(i) 。原模型的结构矩阵分别为刚度阵 K ,质量阵
M 和阻尼阵 C ,在荷载
p
(t)作用下满足微分方程 :
Mx
¨
(t)
+
Cx
·
(t)
+
Kx(t)
=
p
(t) (1)
考虑到结构刚度和质量分布等因素 ,若干空间
相近的自由度在多个模态中表现出相近的振动形
式 ,使得这些自由度的位移 、速度和加速度等动力
响应近似相等 。在考察结构全局动力特性时 ,这些
运动相似的自由度可以通过 x
′
=
f
1
(x)的形式集结
为一个缩聚自由度 ,实现模型的降阶 。在此基础上 ,
基于集结法的模型降阶通过原结构矩阵确定降阶
结构矩阵 :M
′
=
f
2
(M) ,K
′
=
f
3
(K) ,C
′
=
f
4
(C) ;另
外 ,相应的荷载变为
p
′
(t)
=
f
5
(
p
(t)) ,使得式(2)中
的降阶振动控制方程与式(1)表示的系统具有相似
的动力特征 。
M
′
x
¨
′
(t)
+
C
′
x
·
′
(t)
+
K
′
x
′
(t)
=
p
′
(t) (2)
本文对该方法中所涉及的重要模态选取 、自由
度聚类集结和降阶结构矩阵(M
′
、K
′
和 C
′
) 生成等
问题进行阐述和讨论 。