哈密顿体系与椭圆型偏微分方程的本征解完备性研究

"椭圆型方程哈密顿本征解的完备性 (2004年) - 大连理工大学学报 - 钟万勰 - 椭圆型偏微分方程 - 哈密顿对偶方程 - 本征值问题 - 积分方程 - Riccati代数方程 - 完备性定理" 这篇论文由钟万勰院士撰写，发表在2004年1月的大连理工大学学报第44卷第1期上，探讨了椭圆型偏微分方程（PDEs）的哈密顿本征解的完备性问题。文章的核心在于如何利用哈密顿对偶方程来分离变量，进而解决哈密顿算子矩阵的本征值问题。这一问题的解决依赖于一个以端部影响函数为核的积分方程的本征解，这些本征解作为基底，通过有限维半解析法，导出了对偶微分方程及其对应的Riccati代数方程。通过这种方法，可以计算半无限区段的最小总势能。 文中指出，哈密顿型的本征解展开法是求解这种问题的关键手段。通过对有限维结果取极限，可以证明椭圆型偏微分方程的本征向量函数具有完备性，这是偏微分方程理论中的一个重要定理。论文特别强调，虽然有限维哈密顿矩阵的本征值问题已有完备的理论，但对于无限维的哈密顿型偏微分方程，其本征解的完备性和展开定理的证明则是一个新的挑战，而这正是该论文试图填补的空白。 在数学物理中，分离变量法是解决偏微分方程的一种常用方法，通常会导致自伴算子的本征值问题。然而，当问题涉及到结构力学和最优控制理论时，哈密顿体系和分离变量法的结合提供了一种更广泛的视角。哈密顿体系下的偏微分方程是无限维的，因此需要新的方法来处理哈密顿型对偶微分方程的本征解。 文章引用了自伴算子理论的现有成果，包括共轭辛正交归一关系，但指出这些理论不适用于哈密顿型的对偶微分方程，因为它们基于的是辛几何，而非传统的对称核积分方程理论。因此，建立哈密顿型对偶微分方程本征解的完备性理论是本文的创新之处，也是对现有偏微分方程理论的重要贡献。