窄带随机信号分析：从实信号到单边谱

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"第六章窄带随机信号2 - 网络" 在通信、雷达和广播电视等信息技术领域，窄带随机信号是一个重要的概念。这一章主要探讨的是那些中心频率𝜔0远大于其谱宽Δ𝜔的信号，这类信号被称为窄带信号。窄带信号的特点在于它们在频域上具有高度的选择性，尤其是在高频或中频无线电系统中，这种特性尤为显著。窄带随机信号的功率谱密度集中在高频载波𝜔0附近的一个较窄范围内，这样的随机过程被称为“窄带随机过程”。在信息传输系统的接收机分析中，窄带随机信号的处理和分析显得尤为重要。首先，我们来了解一下信号的解析形式，特别是单边谱信号。实信号的频谱通常是对称的双边谱，但实际上负频率部分是无法物理实现的。因此，为了简化分析并能恢复原信号，我们可以采用单边谱的形式。单边谱信号只包含正频率部分，其傅里叶变换定义为只有正频率项。这意味着在时域内，单边谱信号表现为复信号，因为它的反变换不等于自身。对于一个具有连续频谱的实信号𝑠(𝑡)，其傅里叶变换为𝑆(𝜔)，根据傅里叶变换的性质，实信号的频谱𝑆(𝜔)是

6.1 预备知识 267

6.1.3 高频窄带信号的复指数形式

1. 高频窄带信号

定义 6.6 高频窄带信号

♣

高频窄带信号是指信号的中心频率 𝜔

位于高频段的窄带信号。

这类信号的频带 Δ𝜔 远远小于其中心频率 𝜔

, 即 Δ𝜔  𝜔

。诸如雷达、通信等电子

系统中的一些高频信号, 大多可以近似认为是高频窄带信号。这类信号的典型频谱如图

6–4(a) 所示。如果在示波器上观察这类窄带信号, 它的波形或多或少地有点像正弦波, 如

图 6–4(b) 所示。但它的振幅、相位不是常数, 而是随时间 𝑡 变化的函数。这类窄带信号

𝑠(𝑡) 可以表示为

𝑠(𝑡) = 𝑎(𝑡) cos

[

𝜔

𝑡 + 𝜑(𝑡)], (6.50)

式中 𝑎(𝑡) 是信号 𝑠(𝑡) 的振幅调制, 称为包络函数。𝜑(𝑡) 是信号 𝑠(𝑡) 的相位调制, 称为相

位函数, 相对载波 cos 𝜔

𝑡 来讲, 𝑎(𝑡) 与 𝜙(𝑡) 都是慢变化的时间函数。

Δ𝜔

|| ||

𝑂

|𝑆(𝜔)|

𝜔

Δ𝜔

𝑡

𝑂

𝑠(𝑡)

𝑎(𝑡)

图 6–4 高频窄带信号

如果将上式展开, 则

𝑠(𝑡) = 𝑎(𝑡) cos

[

𝜔

𝑡 + 𝜑(𝑡)

]

= 𝑎(𝑡) cos 𝜑(𝑡)

::::::::::::

cos 𝜔

𝑡 − 𝑎(𝑡) sin 𝜑(𝑡)

:::::::::::

sin 𝜔

𝑡

= 𝑚

𝑐

(𝑡) cos 𝜔

𝑡 − 𝑚

(𝑡) sin 𝜔

𝑡,

(6.51)

其中

(

𝑚

(𝑡) = 𝑎(𝑡) cos 𝜑(𝑡)

𝑚

(𝑡) = 𝑎(𝑡) sin 𝜑(𝑡)

(6.52)

可见, 将正弦和余弦看成是函数基中的基函数, 𝑚

(𝑡) 和 𝑚

(𝑡) 相对 cos 𝜔

𝑡 来讲都是低频

信号, 且 𝑚

(𝑡) 和 𝑚

(𝑡) 在几何上彼此正交。

268 第六章窄带随机信号

2. 高频窄带信号的复指数形式

信号 𝑠(𝑡) 的希尔伯特变换为

ˆ𝑠(𝑡) = 𝐻

[

𝑚

(𝑡) cos 𝜔

𝑡 − 𝑚

(𝑡) sin 𝜔

𝑡

]

= 𝐻

[

𝑚

(𝑡) cos 𝜔

𝑡

]

− 𝐻

[

𝑚

(𝑡) sin 𝜔

𝑡

]

(6.53)

如果 𝑚

(𝑡), 𝑚

(𝑡) 均为低频限带信号, 即满足

𝑚

(𝑡)

𝐹

⇌

𝐹

−1

𝑀

(𝜔), |𝜔| <

Δ𝜔

< 𝜔

(低频限带)

𝑚

(𝑡)

𝐹

⇌

𝐹

−1

𝑀

(𝜔), |𝜔| <

Δ𝜔

< 𝜔

(低频限带) .

(6.54)

由例 6–2 的结论，可得 𝑠(𝑡) 的希尔伯特变换

ˆ𝑠(𝑡) = 𝐻

[

𝑚

(𝑡) cos 𝜔

𝑡

]

− 𝐻

[

𝑚

(𝑡) sin 𝜔

𝑡

]

= 𝑚

(𝑡) sin 𝜔

𝑡 + 𝑚

(𝑡) cos 𝜔

𝑡

= 𝑎(𝑡) cos 𝜑(𝑡) sin 𝜔

𝑡 + 𝑎(𝑡) sin 𝜑(𝑡)cos 𝜔

𝑡

= 𝑎(𝑡) sin

[

𝜔

𝑡 + 𝜑(𝑡)

]

(6.55)

此时, 𝑠(𝑡) 的解析形式可以用复指数表示为

˜𝑠(𝑡) = 𝑠(𝑡) + jˆ𝑠(𝑡) = 𝑎(𝑡) cos

[

𝜔

𝑡 + 𝜑(𝑡)

]

+ j𝑎(𝑡) sin

[

𝜔

𝑡 + 𝜑(𝑡)

]

= 𝑎(𝑡)e

[

𝜔

𝑡+𝜑(𝑡)

]

= 𝑚(𝑡)e

j𝜔

𝑡

= ˜𝑠

复

(𝑡), (6.56)

式中

𝑚(𝑡) = 𝑎(𝑡)e

j𝜑(𝑡)

, (6.57)

通常, 将 𝑚(𝑡) 称为信号 𝑠(𝑡) 的

:::::::

复包络, 而将 e

j𝜔

𝑡

称为

:::::::

复载频。𝑎( 𝑡) 称为

:::::

包络, 解析信号

˜𝑠(𝑡) 称为

:::::::

预包络。复包络 𝑚(𝑡) 可展开为

𝑚(𝑡) = 𝑎(𝑡) cos 𝜑(𝑡) + j𝑎(𝑡)sin 𝜑(𝑡) = 𝑚

(𝑡) + j 𝑚

(𝑡). (6.58)

可见, 相对 cos 𝜔

𝑡 来讲, 包络 𝑎(𝑡) 和复包络 𝑚(𝑡) 都是低频限带信号。

误差分析

(1) 误差产生的原因

从复指数形式的推导过程可以看出, 尽管解析信号 e𝑠(𝑡) 是复信号, 但要将它表示成

复指数形式, 还必须满足 𝑚

𝑐

(𝑡), 𝑚

𝑠

(𝑡) 均为低频限带信号的条件。如果不满足此条件, 就

不能由解析信号推出复指数表示。即不满足 𝑚

(𝑡) 和 𝑚

(𝑡) 低频限带信号的条件, 其解析

信号表示与复指数表示仍存在一定的误差。

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尹子先生

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