学习常用算法之(6)分治法.doc
一、分治法的基本思想
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模 N 有关。问题的规模越小,
越容易直接求解,解题所需的计算时间也越少。
例如,对于 n 个元素的排序问题,当 n=1 时,不需任何计算;n=2 时,只要作一次比较即
可排好序;n=3 时只要作 3 次比较即可,…。而当 n 较大时,问题就不那么容易处理了。
要想直接解决一个规模较大的问题,有时是相当困难的。
分治法的设计思想是,将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题,
以便各个击破,分而治之。
如果原问题可分割成 k 个子问题(1<k≤n),且这些子问题都可解,并可利用这些子问
题的解求出原问题的解,那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问
题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下,反复应用分治手段,可
以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出
其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设
计之中,并由此产生许多高效算法。
二、分治法的适用条件
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:
(1)该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决;
(2)该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质;
(3)利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解;
(4)该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子子问题。
上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的,因为问题的计算复杂性一般是随着问题
规模的增加而增加;第二条特征是应用分治法的前提,它也是大多数问题可以满足的,此
特征反映了递归思想的应用;第三条特征是关键,能否利用分治法完全取决于问题是否具
有第三条特征,如果具备了第一条和第二条特征,而不具备第三条特征,则可以考虑贪心
法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率,如果各子问题是不独立的,则分治法
要做许多不必要的工作,重复地解公共的子问题,此时虽然可用分治法,但一般用动态规
划法较好。
三、分治法的基本步骤
分治法在每一层递归上都有三个步骤:
(1)分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题;
(2)解决:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题;
(3)合并:将各个子问题的解合并为原问题的解。
根据分治法的分割原则,原问题应该分为多少个子问题才较适宜?各个子问题的规模应
该怎样才为适当?这些问题很难予以肯定的回答。 但人们从大量实践中发现,在用分治法
设计算法时,最好使子问题的规模大致相同。
换句话说,将一个问题分成大小相等的 k 个子问题的处理方法是行之有效的。许多问题可
以取 k=2。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡子问题的思想,它几乎总是