双场理论中的非黎曼扇形变分原理分析
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更新于2024-07-16
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"双场理论中非黎曼扇形的变分原理"
在双场理论中，非黎曼扇形是一个非常重要的概念，它将$$ \ mathbf {O}（D，D）$$ O（D，D）协变量场变量作为其真正的基本成分。这种理论可以容纳常规的超重力，同时也可以容纳可以按以下方式分类的非黎曼重力：两个非负整数$$（n，\ bar {n}）$$（n，n¯）。这两种类型的非黎曼背景分别在n和$$ \ bar {n} $$ nn维上呈现传播的手性和反手性。
在这里，我们主要讨论非黎曼扇形的变分原理。在这种理论中，我们认识到$$ {n \ bar {n} \ ne 0} $$nn¯≠0的微妙之处在于，无穷小变化通常包括改变$$（n，\ bar {n}）$$（n，n¯）。这似乎表明，应该更好地将各种非黎曼引力识别为双场理论的不同解决方案领域，而不是将其视为独立的理论。
从技术上讲，双场理论可以容纳多种非黎曼背景，例如牛顿-卡坦、卡罗尔或戈米斯-奥古里等。这些背景分别在n和$$ \ bar {n} $$ nn维上呈现传播的手性和反手性。因此，我们可以将这些背景视为双场理论的不同解决方案领域，而不是将其视为独立的理论。
此外，我们还讨论了变分原理在非黎曼扇形中的应用。我们认识到，在$$ {n \ bar {n} \ ne 0} $$nn¯≠0的情况下，无穷小变化通常包括改变$$（n，\ bar {n}）$$（n，n¯）。这意味着，我们需要小心地处理这些变化，以避免对结果的影响。
非黎曼扇形在双场理论中扮演着非常重要的角色，它可以容纳多种非黎曼背景，并且可以用来研究变分原理。在未来，我们可以继续研究这种理论，探索其在不同领域的应用。
"双场理论中的非黎曼扇形"
在双场理论中，非黎曼扇形是一个非常重要的概念，它将$$ \ mathbf {O}（D，D）$$ O（D，D）协变量场变量作为其真正的基本成分。这种理论可以容纳常规的超重力，同时也可以容纳可以按以下方式分类的非黎曼重力：两个非负整数$$（n，\ bar {n}）$$（n，n¯）。这两种类型的非黎曼背景分别在n和$$ \ bar {n} $$ nn维上呈现传播的手性和反手性。
在这里，我们主要讨论非黎曼扇形的变分原理。在这种理论中，我们认识到$$ {n \ bar {n} \ ne 0} $$nn¯≠0的微妙之处在于，无穷小变化通常包括改变$$（n，\ bar {n}）$$（n，n¯）。这似乎表明，应该更好地将各种非黎曼引力识别为双场理论的不同解决方案领域，而不是将其视为独立的理论。
从技术上讲，双场理论可以容纳多种非黎曼背景，例如牛顿-卡坦、卡罗尔或戈米斯-奥古里等。这些背景分别在n和$$ \ bar {n} $$ nn维上呈现传播的手性和反手性。因此，我们可以将这些背景视为双场理论的不同解决方案领域，而不是将其视为独立的理论。
此外，我们还讨论了变分原理在非黎曼扇形中的应用。我们认识到，在$$ {n \ bar {n} \ ne 0} $$nn¯≠0的情况下，无穷小变化通常包括改变$$（n，\ bar {n}）$$（n，n¯）。这意味着，我们需要小心地处理这些变化，以避免对结果的影响。
非黎曼扇形在双场理论中扮演着非常重要的角色，它可以容纳多种非黎曼背景，并且可以用来研究变分原理。在未来，我们可以继续研究这种理论，探索其在不同领域的应用。
"双场理论中的非黎曼扇形"
在双场理论中，非黎曼扇形是一个非常重要的概念，它将$$ \ mathbf {O}（D，D）$$ O（D，D）协变量场变量作为其真正的基本成分。这种理论可以容纳常规的超重力，同时也可以容纳可以按以下方式分类的非黎曼重力：两个非负整数$$（n，\ bar {n}）$$（n，n¯）。这两种类型的非黎曼背景分别在n和$$ \ bar {n} $$ nn维上呈现传播的手性和反手性。
在这里，我们主要讨论非黎曼扇形的变分原理。在这种理论中，我们认识到$$ {n \ bar {n} \ ne 0} $$nn¯≠0的微妙之处在于，无穷小变化通常包括改变$$（n，\ bar {n}）$$（n，n¯）。这似乎表明，应该更好地将各种非黎曼引力识别为双场理论的不同解决方案领域，而不是将其视为独立的理论。
从技术上讲，双场理论可以容纳多种非黎曼背景，例如牛顿-卡坦、卡罗尔或戈米斯-奥古里等。这些背景分别在n和$$ \ bar {n} $$ nn维上呈现传播的手性和反手性。因此，我们可以将这些背景视为双场理论的不同解决方案领域，而不是将其视为独立的理论。
此外，我们还讨论了变分原理在非黎曼扇形中的应用。我们认识到，在$$ {n \ bar {n} \ ne 0} $$nn¯≠0的情况下，无穷小变化通常包括改变$$（n，\ bar {n}）$$（n，n¯）。这意味着，我们需要小心地处理这些变化，以避免对结果的影响。
非黎曼扇形在双场理论中扮演着非常重要的角色，它可以容纳多种非黎曼背景，并且可以用来研究变分原理。在未来，我们可以继续研究这种理论，探索其在不同领域的应用。
101 Page 4 of 19 Eur. Phys. J. C (2020) 80:101
which enjoys symmetries like global O(D, D), target space-
time DFT-diffeomorphisms, worldsheet diffeomorphisms,
Weyl symmetry, and the coordinate gauge symmetry.
3
All
the background information is encoded in the DFT-metric,
H
AB
.
2Reviewof[1]: classification of the non-Riemannian
DFT geometries
The section condition can be generically solved, up to
O(D, D) rotations, by enforcing the tilde coordinate inde-
pendency:
˜
∂
μ
≡ 0 ⇒ ∂
A
∂
A
= 2∂
μ
˜
∂
μ
≡ 0. Choos-
ing
A
= c
μ
∂
A
x
μ
= (c
μ
, 0) for (1.8) and similarly
A
A
= A
μ
∂
A
x
μ
= ( A
μ
, 0), we note that the tilde coor-
dinates are indeed gauged: ( ˜x
μ
, x
ν
) ∼ ( ˜x
μ
+ c
μ
, x
ν
),
Dx
A
= (d ˜x
μ
− A
μ
, dx
ν
). With respect to this choice of the
section, the well-known parametrization of the DFT-metric
and the DFT-dilaton in terms of the conventional massless
NS-NS field variables [88,89],
H
AB
=
g
μν
−g
μσ
B
σλ
B
κρ
g
ρν
g
κλ
− B
κρ
g
ρσ
B
σλ
,
e
−2d
= e
−2φ
|
g
|
, (2.1)
reduces DFT to supergravity. In this case, the single expres-
sion of the EDFEs (1.3) unifies all the equations of motion
of the three fields, {g
μ
, B
μν
,φ}. Further, after Gaussian inte-
gration of the auxiliary gauge potential, A
μ
, the doubled-yet-
gauged string action (1.11) reproduces the standard undou-
bled string action.
Yet, this is not the full story. The above parametriza-
tion (2.1) is merely one particular solution to the defining
relations of the DFT-metric:
H
AB
= H
BA
, H
A
C
H
B
D
J
CD
= J
AB
. (2.2)
DFT and the doubled-yet-gauged string action work well,
provided these conditions are fulfilled. For example, instead
of (2.1), we may let the DFT-metric coincide with the
O(D, D) invariant metric,
H
AB
=
01
10
, (2.3)
such that H
A
B
= δ
A
B
. This is a vacuum solution to DFT, or
to the ‘matter-free’ EDFEs, G
AB
= 0(1.3), which is very
special in several aspects. Firstly, compared with (2.1), there
cannot be any associated Riemannian metric g
μν
and hence it
3
See also [85] for Green–Schwarz doubled superstring, [66] for dou-
bled point particle, and [86,87] for ‘exceptional’ extensions.
does not allow any conventional or Riemannian interpretation
at all. It is maximally non-Riemannian. Secondly, it is fully
O(D, D) symmetric, being one of the two most symmetric
vacua of DFT, H
AB
=±J
AB
. Thirdly, it is moduli-free since
it does not admit any infinitesimal fluctuation, δH
AB
= 0
[75].
4
And lastly but not leastly, upon this background, the
auxiliary gauge potential, A
μ
, appears linearly rather than
quadratically in the doubled-yet-gauged string action (1.11).
Consequently it serves as a Lagrange multiplier to prescribe
that all the untilde target spacetime coordinates should be
chiral [8](c.f. [90,91]),
∂
α
x
μ
+
1
√
−h
α
β
∂
β
x
μ
= 0. (2.4)
An intriguing insight from [11] is then that, the usual super-
gravity fields in (2.1) would be the Nambu–Goldstone modes
of the perfectly O(D, D) symmetric vacuum (2.3).
Given the Riemannian and maximally non-Riemannian
backgrounds, (2.1)v.s.(2.3), one may wonder about the exis-
tence of more generic non-Riemannian geometries (c.f. [8,
10] for other examples and also [22] for ‘timelike’ dual-
ity rotations). This question was answered in [1]: the most
general solutions to the defining properties of the DFT-
metric (2.2) can be classified by two non-negative integers,
(n, ¯n),
H
AB
=
H
μν
−H
μσ
B
σλ
+ Y
μ
i
X
i
λ
−
¯
Y
μ
¯ı
¯
X
¯ı
λ
B
κρ
H
ρν
+ X
i
κ
Y
ν
i
−
¯
X
¯ı
κ
¯
Y
ν
¯ı
K
κλ
− B
κρ
H
ρσ
B
σλ
+ 2X
i
(κ
B
λ)ρ
Y
ρ
i
− 2
¯
X
¯ı
(κ
B
λ)ρ
¯
Y
ρ
¯ı
, (2.5)
where i, j = 1, 2,...,n, ¯ı , ¯j = 1, 2,..., ¯n and 0 ≤ n+¯n ≤
D.
(i) While the B-field is skew-symmetric as usual, H
μν
and
K
μν
are symmetric tensors whose kernels are spanned by
linearly independent vectors,
X
i
μ
,
¯
X
¯ı
ν
and
Y
μ
j
,
¯
Y
ν
¯j
,
respectively,
H
μν
X
i
ν
= 0, H
μν
¯
X
¯ı
ν
= 0,
K
μν
Y
ν
j
= 0, K
μν
¯
Y
ν
¯j
= 0. (2.6)
(ii) A completeness relation must be satisfied
H
μρ
K
ρν
+ Y
μ
i
X
i
ν
+
¯
Y
μ
¯ı
¯
X
¯ı
ν
= δ
μ
ν
. (2.7)
From the linear independency of the zero-eigenvectors,
X
i
μ
,
¯
X
¯ı
ν
, orthogonal/algebraic relations follow
Y
μ
i
X
j
μ
= δ
i
j
,
¯
Y
μ
¯ı
¯
X
¯j
μ
= δ
¯ı
¯j
,
Y
μ
i
¯
X
¯j
μ
=
¯
Y
μ
¯ı
X
j
μ
= 0,
H
ρμ
K
μν
H
νσ
= H
ρσ
, K
ρμ
H
μν
K
νσ
= K
ρσ
. (2.8)
4
Put H
A
B
= δ
A
B
in (3.5).
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