大型矩阵特征值问题：右下三角等价形式与并行算法

"特征矩阵的右下三角等价形式 (2007年) - 李安志，杨本立，杨颖 - 四川师范大学学报(自然科学版) - 2007年11月 - Vol.30, No.6" 这篇2007年的论文主要探讨了实数域中的n阶特征矩阵的右下三角等价形式，这是针对大型和超大型矩阵特征问题的一种计算方法。作者提出了仅通过行初等变换将特征矩阵转化为右下三角等价形式的计算策略。这种方法的优点在于，它具有较低的计算复杂度，即n的立方（n^3），并且具有良好的内在并行性，这意味着它可以适应并行计算的需求，这对于处理大规模矩阵的计算任务尤其有利。 在预备知识部分，论文指出当前大型、超大型矩阵特征值问题的并行算法研究还处于初级阶段，通常采用的方法是对传统串行算法进行并行化处理。然而，由于现有算法的局限性，如通用性不足或内在并行性不强，研究者认为需要开发新的串行算法作为基础，即使这些新算法在串行计算中可能并不占优。论文的目标是为并行解决大型矩阵特征值问题及其逆问题铺平道路。 在论文的主体部分，作者定义了“右下三角等价形式”，这是一种特定的矩阵表示方式。如果一个矩阵A及其特征矩阵满足特定条件，即可以转换为一个右下三角矩阵B(λ)，且它们的特征行列式相等，那么就说A具有右下三角等价形式。这个等价形式为特征值问题的并行算法设计提供了新的视角。 论文的核心贡献在于提出了一种计算方法，该方法利用行初等变换将特征矩阵转化为右下三角等价形式，其计算复杂度为n^3。同时，作者证明了这种方法具有内在的并行性，这为并行算法设计提供了理论基础。对于那些需要处理大量数据的科学计算和工程应用来说，这种高效的并行化策略具有巨大的潜力。 关键词涉及到特征矩阵、特征多项式、行初等变换、右下三角等价形式以及内在并行性，表明论文的重点集中在如何通过矩阵的特定结构来优化计算效率，尤其是对于大规模矩阵问题的处理。 这篇论文在矩阵理论和并行计算领域中提出了一个新的概念和计算策略，对于理解和解决大型矩阵特征值问题的并行算法设计具有重要的理论和实践意义。