信号与系统公式速览：考试必备知识点总结

信号与系统是信息技术领域的重要课程，涵盖了信号的理论基础、分析方法以及频域变换等内容。以下是对课程中关键知识点的详细总结： **第一章：信号分析的理论基础** 1. **周期信号判断**：周期信号可通过其表达式满足周期性条件，即存在某个非零常数 \( T \)，使得 \( x(t+T) = x(t) \) 对所有实数 \( t \) 成立。 2. **信号正交判断**：两个信号 \( x_i(t) \) 和 \( x_j(t) \) 在区间上正交，则它们的卷积积分为零，即 \( \int_{-\infty}^{\infty} x_i(t)x_j^*(t) dt = 0 \)（其中星号表示复共轭）。 3. **信号的基本操作**： - 信号翻转：\( f(t) \) 关于时间轴的翻转得到 \( f(-t) \)。 - 信号平移：\( f(t) \) 向左/右平移 \( a \) 个单位得到 \( f(t-a) \) 或 \( f(t+a) \)。 - 信号展缩：\( f(t) \) 的尺度变换，如 \( af(t/a) \) 表示将原信号压缩或放大。 4. **卷积定理**：卷积运算在时域和频域之间有对应关系，卷积的定义为 \( (g * f)(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} g(t)f(\tau-t) dt \)，在频域中为乘法关系。 5. **与奇异函数的卷积**：与Dirac delta函数的卷积可以简化信号，例如 \( f(t) \ast \delta(t) = f(0) \)。 **第二章：傅立叶变换** 1. **正变换与逆变换**： - 正变换：时间域信号 \( f(t) \) 的傅立叶变换 \( F(\omega) \) 定义为 \( F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-jwt} dt \)。 - 逆变换：\( f(t) \) 可通过其傅立叶变换 \( F(\omega) \) 通过 \( f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{jwt} d\omega \) 重构。 2. **傅立叶变换的性质**： - **时移性质**：如果 \( f(t) \) 原则上移 \( a \) 个单位，其频域表示 \( F(\omega) \) 仅移位 \( \pm a\omega \)。 - **时频展缩**：频率轴上的展缩反映为时间轴上的相应变化，如 \( \mathcal{F}(af(t)) \) 和 \( \mathcal{F}(f(at)) \) 分别对应频谱的压缩和拉伸。 这些公式是信号与系统课程的核心内容，掌握它们对于理解信号的处理、滤波、通信系统分析等至关重要。在学习过程中，需要通过大量的练习和实际应用来巩固和深化对这些概念的理解。