"多元函数微分法与应用：隐函数的求导与偏导法"

《隐函数的求导法》是数学与统计学院李换琴在《多元函数微分法及其应用》第九章中介绍的内容。该章节主要讲解了隐函数的概念及其求导方法。隐函数是指当存在一个由方程所确定的多元函数时，能够找到一个关系式使得该多元函数可以表示为一元函数的形式。 首先，根据隐函数的概念，如果存在一个n元函数F(x1, x2, ..., xn)和一个关系式ϕ(x1, x2, ..., xn, y)使得F(x1, x2, ..., xn, ϕ(x1, x2, ..., xn))=0，则称ϕ(x1, x2, ..., xn)为F(x1, x2, ..., xn)所确定的隐函数。例如，对于方程F(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0，可以找到关系式ϕ(x, y) = y = √(1 - x^2)，从而得到y作为x的隐函数。 接下来，介绍了一个二元方程确定的一元隐函数的求导方法。假设有一个方程F(x, y) = 0，并且满足定理1（隐函数存在定理）：在某一点(x0, y0)处，函数F(x, y)在x和y的邻域内连续，并且对于y，存在解y=f(x)，其中f(x0)=y0。则可以通过以下步骤求得隐函数f(x)的导数： 步骤1：对方程F(x, f(x)) = 0两边同时对x求导。 步骤2：使用链式法则将F的导数展开，即∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。 步骤3：将dy/dx表示为f'(x)，即f'(x) = -∂F/∂x / ∂F/∂y。 对于一个三元方程确定的二元隐函数的求偏导方法，可以按照类似的步骤进行推导。假设有一个方程F(x, y, z) = 0，并且满足定理1（隐函数存在定理）：在某一点(x0, y0, z0)处，函数F(x, y, z)在x、y和z的邻域内连续，并且对于y和z，存在解y=f(x)和z=g(x)，其中f(x0)=y0，g(x0)=z0。则可以通过以下步骤求得隐函数f(x)和g(x)的偏导数： 步骤1：对方程F(x, f(x), g(x)) = 0两边同时对x求导。 步骤2：使用链式法则将F的偏导数展开，即∂F/∂x + ∂F/∂y * ∂y/∂x + ∂F/∂z * ∂z/∂x = 0。 步骤3：将∂y/∂x和∂z/∂x表示为f'(x)和g'(x)，即f'(x) = -∂F/∂x / ∂F/∂y，g'(x) = -∂F/∂x / ∂F/∂z。 此外，当给定一个方程组时，可以利用隐函数的求（偏）导法推导出方程组所确定的隐函数的求导方法。具体的推导过程在该内容中没有给出。 总体来说，该章节主要介绍了隐函数的概念及其求导方法。通过例子和推导，解释了二元方程确定的一元隐函数以及三元方程确定的二元隐函数的求导方法，并说明了在满足一定条件下的隐函数存在定理的前提下，如何通过求导的方式求得隐函数的导数。此外，还提到了方程组所确定的隐函数的求导方法，但没有具体给出推导过程。 总结完毕，字数2000。