初等几何新探：有理表示与系统解构

"这是一本关于初等几何的未完成书籍，主要探讨了有理表示在初等欧氏几何中的应用。作者提到了历史上各种几何方法的优缺点，并介绍了吴文俊院士等人对几何机械化证明的贡献。书中计划通过有理表示来系统解构几何内容，并提供大量实例进行说明。内容涵盖了重心坐标、向量、平面几何等多个方面，包括向量的运算、距离公式、三角形的表示、面积计算以及特征量和特征点等概念。" 在初等几何中，有理表示是一种表达几何对象的方法，它使得几何问题可以转化为代数问题来解决，降低了证明的复杂性。这种表示方式在处理几何问题时具有一定的优势，因为它允许使用有理数来描述几何元素的位置和关系，从而简化了计算和推理。 书中提到的传统几何方法各有特点，例如综合法依赖于构造辅助图形和已知定理，但可能需要大量的推导；重心坐标虽优雅，但不适用于所有角度问题；向量法直观但适用范围有限；直角坐标系统下计算密集；复数法擅长旋转但处理某些特定问题（如平分角）时有困难；射影几何处理相交和相切问题得心应手，但不考虑长度和角度。这些方法的局限性使得初等几何的学习和应用变得复杂。 吴文俊院士的机械证明方法结合了解析几何和伪除理论，开辟了新的证明途径，尽管其证明过程可能不易理解。后来的研究者如张景中院士、高小山、周咸青等进一步发展了这种方法，利用重心坐标、向量法、复数法等，使证明过程更为简洁，更接近人类的几何思维。 书中的重心坐标与向量章节会详细介绍如何使用这些工具来表示和操作几何对象。重心坐标是一种特殊的坐标系，能够方便地处理三角形和其他多边形的问题。向量则提供了一种描述空间中点的位置和方向的方式，其加减、标量乘法和叉积等运算可以用来解决几何中的平行、垂直和距离等问题。 平面几何部分将深入讨论平面向量的运算和性质，以及三角形的各种属性。三角形是几何学的基础，其表示方法、面积计算、基本问题、特征量和特征点都是核心概念。例如，第一类特征量可能包括边长、内角、半周长等，而第一类特征点可能是重心、垂心、外心等。通过这些概念，可以解决如相似、全等、周长和面积计算等几何问题。 第二类特征量和特征点可能涉及更高级的几何性质，如内心、外心、旁心等，它们对应着三角形的角平分线、中位线、高线等特殊位置。这些内容对于理解更复杂的几何定理和问题至关重要。 这本书旨在通过有理表示系统地阐述初等几何，使读者能够更有效地理解和解决几何问题，同时也展现了现代数学家在几何自动化证明领域的探索和成就。