代数余子式与克拉默法则：求逆矩阵与几何应用

5.3节是《线性代数简介》第五版的一个章节，主要讲解了线性代数中的几个关键概念，包括逆矩阵、克拉默法则以及向量的叉积与几何应用。以下是对这些知识点的详细解析： 1. **逆矩阵与代数余子式**：在本节中，提到矩阵\( A \)的逆矩阵\( A^{-1} \)可以通过其转置\( C^T \)除以\( A \)的行列式\( \text{det}(A) \)来表示，即\( A^{-1} = \frac{C^T}{\text{det}(A)} \)。其中，\( (A^{-1})_{ij} \)表示的是\( A \)的代数余子式\( C_{ji} \)除以\( A \)的行列式的值。 2. **克拉默法则**：这是一种用于求解线性方程组\( Ax = b \)的方法。克拉默法则指出，第\( j \)个变量\( x_j \)的值可以通过将原方程的第\( j \)列替换为\( b \)，然后计算新的行列式\( B_j \)再除以\( \text{det}(A) \)来得到，即\( x_j = \frac{\text{det}(B_j)}{\text{det}(A)} \)。通过逐列操作，可以依次求得所有未知数的解。 3. **几何应用：平行四边形面积和体积**：特定情况下，如果一个平行四边形的四个顶点坐标分别为(0,0), (a,b), (c,d), 和 (a+c, b+d)，其面积可以通过两个数\( ad - bc \)的绝对值来计算。同样，如果矩阵\( A \)的行或列对应于一个三维盒子的边长，那么盒子的体积就是矩阵\( A \)的行列式的绝对值，即\( \text{Vol} = |\text{det}(A)| \)。 4. **向量叉积**：向量\( w = u \times v \)的定义与行列式有关，即\( w = \text{det} \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} \)。叉积满足反交换律，即\( v \times u = - (u \times v) \)，并且向量\( w \)与交叉相乘的两个向量\( u \)和\( v \)都垂直，即\( w^T u = 0 \)和\( w^T v = 0 \)。 5. **矩阵求逆与方程组的解**：本节强调使用代数方法而非消元法来求解\( Ax = b \)并计算逆矩阵。在计算过程中，会频繁使用\( \text{det}(A) \)作为分母，因为\( A^{-1} \)和\( A^{-1}b \)中的每个元素实际上是另一个行列式除以\( \text{det}(A) \)的结果。例如，求解\( x \)的过程就是利用克拉默法则逐步计算各元素的值。 6. **示例与检验**：以一个具体的例子展示如何应用克拉默法则求解线性方程组，包括求解过程中的步骤和检验所求解的正确性。 5.3节是线性代数中关于逆矩阵、克拉默法则以及向量运算在几何问题中的实际应用的重要部分，通过代数手段处理线性系统，并提供了解决这类问题的具体步骤和技巧。