C++实现全排列算法详解：递进/递减进位制与序号转换

本文档详细介绍了使用C++实现全排列算法的方法，特别关注了"原排列"到"原中介数"再到"新中介数"以及"新排列"的转化过程。全排列算法的核心在于通过中介数来生成所有可能的排列组合，这里的中介数包括递增进位制数和递减进位制数。 递增进位制和递减进位制是一种特殊的数字系统，其进制从右向左递增或递减。例如，4121的递增进位制中，从右至左的进制分别为2、3、4、5，每个位上的数字受限于该位置的进制上限。在递增进位制中，加法操作由于进制逐渐增大，可能会导致频繁的进位，如4121+1会变成4200。 对于这些进制系统的序号映射，规定0的序号为十进制0，递增和递减进位制的序列号可以通过特定的公式计算得出。例如，递增进位制的987654321对应序号362880，对应的转换规则是：序号 = a1 * 9! + a2 * 8! + ... + a9 * 1!。找到一个比序号小的最大阶乘数，用序号去除，余数作为下一位的数值，直到余数为0。 同样，递减进位制的转换也遵循类似规则，但进制是从大到小，例如123456789对应序号362880。在实际操作中，将一个序号转换成递减进位制，需要通过逆序的阶乘计算和取余过程。 C++实现全排列算法时，可以根据这些递进/递减进位制原理，设计一个循环或递归函数，通过不断交换元素位置并更新中介数（即序号），来生成所有的排列组合。这个过程展示了编程技巧和对数学概念的巧妙运用，对于理解算法背后逻辑和提升编程能力具有重要意义。