概率论与数理统计：分球入盒问题解析

"该资源是一份关于概率论与数理统计的课件，主要讨论了分球入盒问题，这是概率论中常见的排列组合问题。课件由叶梅燕教授讲授，适用于非数学专业的学生，参考教材为《概率论与数理统计》。课件内容涵盖随机事件、概率定义、随机变量等多个核心章节。" 在概率论中，分球入盒问题是一种经典的问题，用于帮助理解随机现象和计算概率。在这个例子中，我们有3个球和3个盒子，问题关注的是特定情况发生的概率。 1. 每盒恰有一球的概率：这个问题涉及到无放回的排列问题，因为球一旦放入盒子就不能取出。在这种情况下，每个球都必须被放到不同的盒子中。我们可以首先将第一个球放入任意一个盒子，有3种选择；接着第二个球只能放入剩下的两个盒子中的一个，有2种选择；最后，第三个球只能放入最后一个空盒子，只有1种选择。所以，每盒恰有一球的排列总数是3 * 2 * 1 = 6种。总的排列方式是每个球都有3个盒子可以选择，所以总排列数是3^3 = 27种。因此，每盒恰有一球的概率是6/27，化简后为2/9。 2. 空一盒的概率：这个问题稍微复杂一些，因为需要至少一个盒子是空的。我们可以先计算所有可能的放球方式（不考虑空盒），仍然是27种。然后，我们需要找出所有可能空一盒的配置。一种情况是只有一个盒子有2个球，其余两个盒子各有一个球，这样的情况有3种（比如前两个球都在第一个盒子，或前两个球在第二个盒子，或前两个球在第三个盒子）。另一种情况是两个盒子各有一个球，第三个盒子为空，这样的情况有3 * 2 = 6种（因为可以决定哪两个盒子有球，哪个盒子为空）。所以，总共有3 + 6 = 9种空一盒的配置。因此，空一盒的概率是9/27，化简后为1/3。 课件中还涉及了概率论的基本概念，包括随机事件、样本空间、随机变量及其数字特征、抽样分布、参数估计和假设检验等。这些是概率论与数理统计的基础，对于理解和处理现实世界中的不确定性问题至关重要。通过学习这些概念，学生能够掌握如何分析随机现象并进行概率计算，从而在工程、科学、经济等领域应用统计方法进行决策。