2017级《数值分析》期末试卷A卷：数值计算与迭代方法详解

本题是一份2017年北京理工大学计算机学院《数值分析》期末考试A卷，涵盖了数值分析中的多个关键知识点。以下是部分试题的详细解析： 1. **填空题** - 梯形面积计算的绝对误差与相对误差涉及测量误差的处理，由于题目未提供具体测量值，只能根据题意推算。梯形面积为（20+30）/2 * 20 = 300mm²，假设测量值误差为±1mm，那么绝对误差为1mm²，面积为300mm²，相对误差为(1/300) * 100% ≈ 0.33%。有效数字取决于测量值的精度，通常测量值保留一位有效数字，但这里实际面积的计算结果可保留两位有效数字。 - 计算sin(1.0)的近似值时，要求总误差不超过0.01，麦克劳林展开式的截断误差与项数有关，一般需要选取足够的项数来保证误差控制在指定范围内。对于正弦函数，可能需要取前若干项的和，如取到第7项（因为sin(x)的泰勒展开到第6项时达到7阶精度），误差才可能小于0.01。 - 牛顿下山法中，下山因子是指迭代过程中的步长因子，当|f'(x)| < 1时，方法收敛。已知x1=7，f(x)=x^3-2x-5，所以f'(x1)=3x1^2-2=201，为了使下山因子满足条件，我们需要找到一个λ使得|λ*(3x1^2-2)| < 1，即|λ*201| < 1，解得λ约等于0.005。此时，x1=1-0.005*(7-1)=0.9。 - 迭代法选择公式时要考虑收敛性和精度要求。题目没有给出具体的函数，但A、B、C选项可能是不同迭代公式的选择。要求误差不超过0.005，可能需要考虑二分法（收敛快但计算次数多）或高斯-塞德尔迭代法（适用于线性系统，但需要矩阵特性），具体选择依赖于问题背景。如果函数是非线性的，可能A或B更合适，而C可能是线性系统的迭代公式。迭代次数取决于初始值和要求的精度，但至少需要2次迭代才能达到0.005的精度。 - 对于数值计算精度的提高，当正数x很大时，可以使用对数变换（如log(x)）来减小数值范围，提高计算效率。 - 列主元素法求解线性方程组时，第一次消元会选择最大绝对值的元素作为主元素。 - 高斯-赛德尔迭代法对对称正定矩阵（或者接近对称正定）收敛，因此矩阵需要满足这个性质。 - 向量的2-范数是其各分量平方和开平方，||X||2=√((1)^2 + (-5)^2 + 2^2) = √29。 - 矩阵的范数，通常有几种类型（如欧几里得范数、Frobenius范数等），具体题目未给出，无法直接计算。但给出范数的具体计算方法。 - 向量序列收敛的充分必要条件通常是迭代公式满足Lyapunov稳定性条件。 2. **计算题** - 单点弦截法用于寻找函数零点，需要计算给定区间的函数值，比较与零的接近程度，直到达到3位有效数字的精度。 - 平方根法用于求解线性方程组，可能涉及矩阵求逆或迭代求解，需确保结果到小数点后3位。 - 高斯-赛德尔迭代法需要将方程组转化为适合迭代的形式，并设置适当的初值，执行迭代计算并记录3位小数的结果。 - 插值多项式反插值涉及数据拟合，可能需要用到牛顿法或其他插值方法，根据表格数据确定合适的多项式表达式，并进行反插值计算。 综上，这份试卷考察了数值分析中的测量误差分析、泰勒级数与近似计算、非线性方程求解方法、线性代数基础、矩阵运算、迭代法的收敛条件以及插值理论等内容，涵盖了数值分析的多个核心知识点。解答这些问题需要扎实的理论基础和实际操作能力。