清华大学赵永翔教授的多项式导论:乘法、幂运算与高效算法
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更新于2024-07-18
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本资源是一份名为"多项式导论"的课件,由赵鹏(Peng Yuxiang)教授于清华大学计算机科学与技术系创作,日期为2016年1月21日。课程内容涵盖了多项式乘法、形式幂级数、多项式代数以及多项式因式分解等核心主题。以下是详细的知识点概览:
1. **多项式的基本概念**:
- 定义:一个多项式 \( F(x) \) 表示为 \( f_0x^0 + f_1x^1 + ... + f_nx^n = \sum_{i=0}^{n}f_ix^i \),其中 \( f_i \) 是系数,\( n \) 是多项式的次数。
- 向量表示:多项式可以看作是系数向量 \( F = (f_0, f_1, ..., f_n)^T \),\( degF = n \) 表示多项式的最高次幂。
- 域和定义域:系数 \( f_i \) 属于某个特定的环 \( \mathcal{A} \),多项式属于 \( \mathcal{A}[x] \)。
2. **多项式运算**:
- 加法与减法:\( (F \pm G)(x) = \sum_{i=0}^{n}(f_i \pm g_i)x^i \)。
- 乘法:\( (F \times G)(x) = \sum_{i=0}^{2n}\left(\sum_{j+k=i}f_jg_k\right)x^i \)。
- 幂运算:\( F^n(x) = \prod_{i=1}^{n}F(x) \)。
3. **简单算法:朴素乘法**:
- 对于两个多项式 \( F \) 和 \( G \),朴素乘法直接根据多项式乘法的定义进行逐项相乘,计算每个项的系数。
4. **高效算法:Karatsuba算法**:
- 假设多项式 \( F(x) \) 的次数为 \( n-1 \),Karatsuba算法是一种分治策略,通过将高次多项式拆分成两部分 \( F_0(x) \) 和 \( x^{n-1} + F_1(x) \),简化乘法过程,提高计算效率。
这份课件不仅介绍了基本概念,还深入探讨了如何通过更高效的算法处理多项式乘法问题,对于理解和应用多项式理论在计算机科学中具有重要意义,例如在算法设计、数值分析和密码学等领域。学习者可以通过这份课件系统地掌握多项式运算的核心技巧,提升对相关算法的理解和实际操作能力。
2012-12-25 上传
2017-11-04 上传
2021-01-07 上传
2008-12-27 上传
2009-07-18 上传
2009-10-01 上传
2009-08-04 上传
2010-09-05 上传
shercoo
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