卡尔曼滤波器详解：从基础到扩展

"这篇文档是关于卡尔曼滤波的外文翻译版，主要涵盖了离散卡尔曼滤波理论和实践应用，包括对基本卡尔曼滤波器及其扩展——扩展卡尔曼滤波器的介绍和讨论，并提供了简单示例。文档由Greg Welch和Gary Bishop撰写，由姚旭晨翻译，最初发表于1960年，后在2006年和2007年进行了更新。" 卡尔曼滤波是一种统计滤波技术，由Rudolf E. Kalman在1960年提出，主要用于处理离散时间序列数据的线性滤波问题。它通过递归算法有效地估算系统状态，并最小化估计的均方误差。随着数字计算技术的发展，卡尔曼滤波器在许多领域，特别是自主导航和辅助导航系统中得到了广泛应用。 卡尔曼滤波器的核心在于一组递归数学公式，这些公式允许在不知道系统确切模型的情况下，对过程状态进行实时估计。它不仅能够估计当前状态，还能对过去和未来的状态进行预测。在实际应用中，卡尔曼滤波器可以处理包含噪声的数据，通过结合系统模型和观测数据，来逐步改善状态估计。 离散卡尔曼滤波器的工作原理基于两个关键方程：状态转移方程和观测方程。状态转移方程(1.1)描述了系统状态如何从一个时间步长转移到下一个时间步长，其中\( x_k \)是第k时刻的状态向量，\( A \)是状态矩阵，\( B \)是控制输入矩阵，\( u_k \)是控制输入，而\( w_k \)是过程噪声。观测方程(1.2)则将系统状态映射到可观测的测量值\( z_k \)，\( H \)是观测矩阵，\( v_k \)是观测噪声。 卡尔曼滤波器的关键在于它对噪声的假设：过程噪声\( w_k \)和观测噪声\( v_k \)被认为是独立的、零均值的高斯白噪声，具有已知的协方差矩阵。这使得滤波器能够根据噪声的统计特性进行最优的估计。 扩展卡尔曼滤波器（EKF）是对非线性系统的卡尔曼滤波扩展。当系统模型包含非线性函数时，EKF通过线性化这些非线性函数来近似卡尔曼滤波的递归步骤。虽然这种方法简化了计算，但在某些情况下可能引入误差，特别是在非线性强烈或系统动态范围大的情况下。 文档中很可能包含了详细的推导过程，解释了如何初始化滤波器，如何计算预测和更新步骤，以及如何更新滤波器的协方差矩阵。此外，可能还提供了一个或多个实际案例，通过图形和实例演示了卡尔曼滤波器如何工作。 总结起来，这篇文档是卡尔曼滤波理论和实践的宝贵资源，适合对滤波理论感兴趣的读者，尤其是那些希望在实际项目中应用卡尔曼滤波器的人。它不仅介绍了基本概念，还涵盖了扩展形式，确保读者能够理解和实施这一强大的估算工具。