信息理论基础：四进制、八进制与二进制信息量比较

"这是关于《信息理论基础》课程的习题解答，主要涵盖了信息量、熵、自信息等相关概念。" 信息理论是通信工程、计算机科学和统计学等领域的重要基础，由克劳德·香农在20世纪40年代创立。它主要研究如何有效地传输和存储信息，并对信息的度量、压缩、编码等问题提供了理论框架。 1. 信息量的计算： - 信息量是衡量一个事件发生所带来的新信息的多少，通常用比特(bit)作为单位。一个事件的信息量可以用它的概率的负对数来表示，即`I(x) = -log2(P(x))`。 - 在问题2.1中，通过计算不同进制脉冲表示的消息数量，我们可以得出四进制和八进制脉冲的信息量分别是二进制脉冲的2倍和3倍。 2. 条件概率与联合概率： - 条件概率`P(A|B)`表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。在问题2.2中，我们利用了这个概念来计算得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”这一消息的信息量。首先，分别计算女大学生和所有女孩中身高超过160cm的比例，然后用贝叶斯公式计算条件概率。 3. 熵（Entropy）： - 熵是衡量一个随机变量不确定性或信息量的期望值，对于离散随机变量`X`，熵定义为`H(X) = Σ P(x_i) * log2(1/P(x_i))`，其中`x_i`是随机变量的所有可能取值。 - 在问题2.1中，我们计算了不同进制脉冲的平均信息量，即熵。 4. 自信息（Self-Information）： - 自信息是一个特定事件发生时的信息量，它衡量了该事件发生所带来的意外程度。在问题2.4中，计算了给定消息的自信息和平均信息量。自信息是单个符号的信息量，而平均信息量则是整个消息中所有符号信息量的平均值。 5. 组合概率和计数： - 在问题2.3中，我们考虑了洗乱的扑克牌排列的问题。第一部分计算了任一特定排列的信息量，使用了排列的总数52!。第二部分涉及抽屉原理，计算了抽取13张不同点数牌的概率。 6. 无记忆信源： - 无记忆信源意味着当前符号的出现不依赖于之前符号的出现。在问题2.4中，给出了一个离散无记忆信源的例子，通过统计各符号出现的频率来计算消息的自信息量和平均信息量。 信息理论不仅在通信系统的设计中起到关键作用，还广泛应用于数据压缩、密码学、机器学习等多个领域。理解这些基本概念有助于深入探讨和应用信息理论的各种原理。