MATLAB多元线性回归详解：拟合策略与系数求解

MATLAB多元线性回归是一种强大的数据分析工具，用于拟合和理解数据之间的复杂关系。在MATLAB中，进行多元线性回归主要有三种方法：`polyfit`、`regress`以及`nlinfit`。下面将详细介绍这些命令的特点和使用方法。 1. `polyfit(x,y,n)`函数用于拟合一元幂函数，其中`x`是自变量，`y`是因变量，`n`是拟合的阶数。这个函数适用于一元多项式模型，可以帮助我们找到最佳拟合曲线。 2. `regress(y,x)`函数是MATLAB中最常用的多元线性回归工具。它可以处理多变量之间的关系，通过最小二乘法来估计模型参数。输入格式是将因变量`y`放在左边，自变量`x`构成的矩阵放在右边。注意，为了包含常数项，自变量`x`应先添加一列全为1的列。`regress`返回的结果包括回归系数、置信区间、残差及其统计检验结果。 3. `nlinfit`函数更为通用，可以拟合非线性函数，适用于任何类型的函数，甚至多元函数。它通过优化算法寻找函数的最佳参数，其应用范围广泛，但可能需要用户提供函数的表达式形式和初始猜测值。 进行回归分析时，首先需要根据数据图形选择合适的函数形式，这通常需要一定的数学背景和实践经验。选定函数形式后，使用上述函数之一求解未知参数（待定系数）。回归的本质是通过最小化误差平方和找到这些系数的最优估计。 多元线性回归模型的基本形式为：`y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε`，其中`y`是因变量，`x1, x2, ..., xn`是自变量，`β0, β1, ..., βn`是回归系数，`ε`是随机误差项。 `regress`函数返回的结果包括回归系数`b`、置信区间`bint`、残差`r`和置信区间`rint`，以及一些统计量如R²（决定系数）、F值和显著性水平p值。R²衡量了模型解释变量变异性的能力，F值和p值用于模型的整体显著性检验。 在进行回归分析时，要注意选择正确的显著性水平`alpha`，这会影响置信区间的大小。α值越小，置信区间越大，表示我们的结果更加稳健；反之，置信区间较小，但可能更不稳定。 总结来说，MATLAB提供了多种方法进行多元线性回归，选择哪种取决于具体需求和数据特性。理解这些函数的使用，结合数学理论和实践，可以帮助我们更有效地分析数据，建立并验证复杂的预测模型。