运筹学第一章：线性规划详解

"该资源是天津大学提供的关于运筹学第一章——线性规划的PDF教程，主要内容包括线性规划的模型与图解法、单纯形法、对偶问题与灵敏度分析、运输问题以及线性整数规划。教程中通过实例介绍了如何构建线性规划模型，以解决如何在有限资源下最大化效益的问题。" 线性规划是一种优化技术，常用于决策问题，尤其是在生产管理、经营活动中，旨在合理分配有限的资源以获得最大收益。线性规划问题通常包含以下几个核心组成部分： 1. **决策变量**：线性规划中的关键元素，代表需要决策的未知量，例如在案例中，甲、乙产品的计划产量就是决策变量。 2. **目标函数**：要优化的量，即决策的目标，通常用决策变量的线性组合来表示。在上述例子中，目标函数是总收入，希望最大化。形式上，目标函数为 `Max z = c1x1 + c2x2`，其中 `z` 是目标值，`c1` 和 `c2` 是对应于产品 `x1` 和 `x2` 的单位价格。 3. **约束条件**：定义了决策变量可以取值的范围，这些条件通常由决策变量的线性等式或不等式构成。在上述例子中，约束条件来自各种资源的限量以及产量非负的限制，如 `x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, 94x1 + 45x2 ≤ 300, 10x1 + 5x2 ≤ 200, 3x1 + 4x2 ≤ 360`。 线性规划模型的基本特征是所有的决策变量、目标函数的系数以及约束条件都是线性的。这意味着目标函数和约束条件由一次多项式组成，没有二次或更高次的项。 线性规划的解决方案可以通过多种方法找到，其中包括图解法（适用于二维问题）和更通用的单纯形法。单纯形法是一种迭代算法，适用于高维问题，能够找到满足所有约束条件下的目标函数最优解。此外，对偶问题是对原问题的另一种形式，它提供了对原始问题的洞察，并且在灵敏度分析中扮演重要角色，可以帮助分析参数变化对解的影响。 线性规划的应用广泛，例如在运输问题中，它可以帮助确定从产地到销地的最佳运输方案，以最小化运输成本或最大化利润。线性整数规划则进一步扩展了线性规划，允许决策变量取整数值，增加了问题的真实性和复杂性，但同时也引入了新的算法挑战。 线性规划是运筹学的基础，是解决实际生活中众多资源分配问题的有效工具，对于理解和应用现代优化理论至关重要。