变系数抛物方程的交替分段显-隐差分格式及其稳定性分析

"这篇论文是2007年发表在《山东师范大学学报(自然科学版)》上的，主要探讨了一类变系数抛物型方程的数值解法，特别是通过构造交替分段显-隐差分格式来解决这类方程。论文强调了这种方法在并行计算中的优势和无条件稳定性，并通过数值实验验证了方法的有效性。" 文章内容详细展开： 该研究关注的是一类具有变系数的抛物型方程，这类方程在物理、工程等领域中有广泛的应用。方程的初边值问题（1）-（3）由以下部分组成：一个时间依赖的偏微分方程，其中系数a(x)和b(x)随空间位置x变化，c和b0是常数，f(x, t)是已知源项。边界条件（3）规定了解在x=0和x=1处的行为，以及初始条件（2）定义了解在t=0时的状态。论文假设解u(x, t)是足够光滑的，且系数a(x)和f(x, t)满足一定的条件。 传统的数值解法，如差分方法、有限元方法和特征线方法，虽然可以处理这类问题，但它们通常不支持并行计算。相比之下，显示差分方法虽适合并行，但其稳定性受到时间步长的限制，而隐式方法虽然稳定，但求解线性代数方程组时并行化较为复杂。 为了解决这些问题，研究者采用了Saul'yev型非对称差分格式，构建了一个交替分段显-隐差分格式（AGE）。这种格式允许在空间和时间上分段处理，且在每个段的边界上应用Saul'yev型非对称格式，从而在并行计算中找到平衡。论文进一步证明了这个新格式是无条件稳定的，这意味着在计算过程中不需要严格的步长控制，简化了计算流程。 此外，作者还提到了Evans DJ和Ahdullah AR的工作，他们之前已经利用Saul'yev型非对称格式构造了交替分段显示格式，并将其应用到多个领域。张宝琳、陆金甫、王文浩等人的研究也为并行差分方法提供了新的视角，尤其是交替分组显示和显-隐方法。 论文通过数值实验验证了提出的交替分段显-隐差分格式的可行性和效率。实验结果表明，这种方法能够有效地求解变系数抛物方程，同时充分利用并行计算的优势，提高了计算速度和精度。 总结起来，这篇论文为解决变系数抛物型方程提供了一种新颖的数值方法，它不仅具有并行计算的潜力，而且具备无条件稳定性，对于理解和应用这类方程的数值解法具有重要意义。